Математика, 6 класс: 19-22. Деление десятичных дробей
Устный счет
Это надо знать
Деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и так далее
При делении десятичной дроби на 10, 100, 1000 и так далее запятую надо перенести влево на столько знаков, сколько нулей имеется в разрядной единице.
Примеры:
56,1 : 10 = 5,61;
56,1 : 100 = 0,561;
56,1 : 1000 = 0,0561.
Деление десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и так далее
При делении десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и так далее запятую надо перенести вправо на столько знаков, сколько цифр имеется после запятой в 0,1; 0,01; 0,001 и т.д..
Примеры:
5,61 : 0,1 = 56,1;
5,61 : 0,01 = 561;
5,61 : 0,001 = 5610.
Деление на натуральное число
При делении на натуральное число надо:
1.
Выполнить деление, не обращая внимания на запятую;
2. В полученном частном поставить запятую сразу, как только закончено деление целой части.
Пример:
31,2 : 5 = 6,24
Деление на десятичную дробь
При делении на десятичную дробь надо:
1. Перенести в делимом и делителе запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе;
2. Выполнить деление на натуральное число.
Пример:
8, 255 : 0,04 = 825,5 : 4 =
Видеоурок
Домашнее задание
К уроку 19 (на 28.
09)
П. 4.1
1 уровень (учебник)
№ 4.3
№ 4.8
2 уровень (сборник)
№ 1.67 стр. 16
Вычислите:
1) 48 : 10; 2) 75 : 100; 3) 12 : 100; 4) 305 : 10; 5) 7803 : 100; 6) 57057 : 1000.
№ 1.70 стр. 16
Найдите частное от деления числа 261 на число:
1) 0,001; 2) 0,01; 3) 0,000001.
№ 1.72 стр. 16
Найдите частное от деления на 0,0001 числа:
1) 52; 2) 462; 3) 15; 4) 3,87; 5) 1,008; 6) 4,9; 7) 0,004; 8) 0,023.
П. 4.2
1 уровень (учебник)
№ 4.25
№ 4.28
2 уровень (сборник)
№ 1.
73 стр. 17
Выполните деление:
1) 32 : 800; 2) 56 : 70; 3) 26 : 1300; 4) 96 : 32000; 5) 1500 : 6000; 6) 25 : 1250.
№ 1.75 стр. 17
Найдите частное чисел:
1) 16,75 : 50; 2) 6,942 : 25; 3) 72,18 : 360; 4) 22,5 : 45; 5) 1,75 : 17500; 6) 6,6645 : 36.
К уроку 21 (на 30.09)
П. 4.3
1 уровень (учебник)
№ 4.63
№ 4.65 (1, 2)
2 уровень (сборник)
№ 1.78 стр. 17
Пользуясь верным равенством 794 ∙ 325 = 258 050, найдите значение выражения:
1) 25,805 : 3,25; 2) 2580,5 : 32,5; 3) 258,05 : 0,0325; 4) 258,05 : 0,794;
5) 0,025805 : 0,00794; 6) 0,25805 : 0,000794.
№ 1.76 стр. 17
Выполните деление:
1) 37,563 : 6,59; 2) 219,975 : 4,19; 3) 22,411 : 0,73;
4) 229,04 : 5,6; 5) 19,152 : 6,3; 6) 199,43 : 0,49.
К уроку 22 (на 03.10)
П. 4.3
1 уровень (учебник)
№ 4.68
№ 4.76 (1-4)
№ 1.100 стр. 20
Уменьшите значение величины 329,4 км в:
1) 3 раза; 2) 4 раза; 3) 5 раз; 4) 12 раз.
№ 1.102 ( 5-8) стр. 21
Обратите каждую обыкновенную дробь в десятичную и выполните действие:
№ 3.14 (4-7) стр. 78
Решите уравнение:
4) 6,78 : y = 6780; 5) 2,95 : y = 0,0295; 6) 0,01 : x = 100; 7) y : 0,01 = 168.
Деление десятичных дробей: правила, примеры
Поможем понять и полюбить математику
Начать учиться
180.
9K
Вспомним, что такое десятичные дроби, а также как правильно их делить: в столбик и не только. В этом материале будем рассматривать примеры для положительных дробей.
Как разделить десятичную дробь на натуральное число столбиком
Делить столбиком можно не только натуральные числа, но и дроби. Алгоритм мы подробно опишем здесь. Итак, как делить десятичные дроби на натуральные числа в столбик:
1. Добавить к десятичной дроби справа несколько нулей (для деления мы можем добавлять любое их количество, которое нам необходимо).
2. Выполнить деление по стандартной схеме. Когда деление целой части дроби подойдет к концу, мы ставим запятую в получившемся частном и считаем дальше.
Результатом такого деления может стать как конечная, так и бесконечная периодическая десятичная дробь. Это зависит от остатка: если он нулевой, то результат окажется конечным, а если остатки начнут повторяться — получится периодическая дробь.
Пример: Разделить столбиком
Как решаем
1. Делим столбиком, предварительно дописав два нуля к десятичной дроби.
2. После того, как мы поделили целую часть дроби и получили 16, отделяем ответ запятой (16) и продолжаем деление уже для дробной части
В конце у нас нулевой остаток, значит деление завершено.
Ответ:
Реши домашку по математике на 5.
Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.
Как разделить столбиком одну десятичную дробь на другую
Для этого необходимо перенести запятую в делимом и делителе вправо на одинаковое количество знаков — так, чтобы делитель превратился в натуральное число. Далее выполняем описанную выше последовательность действий.
1. Переносим запятую в делимом и делителе вправо на то количество знаков, которое необходимо для превращения делителя в натуральное число. Если в делимом не хватит знаков, дописываем в него нули с правой стороны.
2. После этого делим дробь столбиком на получившееся натуральное число.
Пример: поделить столбиком 63,42 на 2,1
Как решаем
Переносим запятую на один знак вправо, чтобы делитель (2,1) стало натуральным числом. Запятую переносим в обоих числах — у нас получается 634,2÷21.
Затем производим деление:
Ответ:
Как разделить десятичные дроби на 1000, 100, 10 и другие
Как вы уже заметили, есть основное правило деления десятичных дробей: по нему деление дроби на десятки, сотни, тысячи аналогично ее умножению на 1/1000, 1/100, 1/10 и другие.
Чтобы выполнить действие, нужно просто перенести запятую влево на нужное количество цифр (равное нулям). Если значений в числе не хватит для переноса, нужно дописать справа нужное количество нулей:
Как разделить десятичные дроби на 0,001, 0,01, 0,1 и другие
Правило из предыдущего пункта поможет нам без труда разделить дроби на указанные значения. Переводим эти числа в стандартные дроби и затем при делении действие будет аналогично умножению на 1000, 100, 10 (так как дробь, на которую делим переворачивается).
Чтобы найти ответ в подобных задачах, мы переносим запятую на одну, две, три цифры вправо (в зависимости от числа, на которое делим) и дописываем нули, если цифр в числе окажется недостаточно.
Как разделить смешанное число или обыкновенную дробь на десятичную и наоборот
Это действие мы также сводим к операциям с обыкновенными дробями.
Шпаргалки для родителей по математике
Все формулы по математике под рукой
Юлия Герасимова
К предыдущей статье
322.9K
Модуль числа
К следующей статье
269.3K
Как решать систему уравнений
Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику
На вводном уроке с методистом
Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению
Расскажем, как проходят занятия
Подберём курс
College Algebra Tutorial 37
College Algebra
Tutorial 37: Synthetic Division и
Теоремы об остатках и факторах
WTAMU > Виртуальная математическая лаборатория > Колледжская алгебра
Цели обучения
После завершения этого руководства вы сможете:
- Чтобы разделить многочлен на двучлен вида x — c с использованием синтетического деления.
- Используйте теорему об остатках в сочетании с синтетическим делением, чтобы найти функциональная ценность.
- Используйте теорему о множителях в сочетании с синтетическим делением, чтобы найти множители. и нули полиномиальной функции.
Введение
В этом уроке мы рассмотрим синтетическое деление.
Вы можете использовать синтетическое деление всякий раз, когда вам нужно разделить многочлен
функция биномом вида х — с .
Мы можем использовать это, чтобы найти несколько вещей. Один — фактическое частное
и остаток вы получите, когда вы разделите полиномиальную функцию на x — c . Кроме того, теорема об остатках утверждает, что
остаток, который мы получаем, когда на самом деле применяется синтетическое деление
дает нам функциональное значение. Другое использование — поиск факторов и
нули. Факторная теорема утверждает, что если функциональное значение равно
0 при некотором значении c , тогда x — c множитель и c ноль.
Вы можете не только найти эту функциональную ценность, используя синтетические
деление, но и найденное частное может помочь в процессе факторинга.
Похоже, синтетическое деление может помочь нам в нескольких разных типах
проблем. Я думаю, вы готовы открыть для себя
чудесный мир синтетического деления.
Учебник
Синтетический отдел
Синтетическое деление — еще один способ деления многочлена на двучлен x — c , где c равно константа.
Шаг 1: Настройка синтетического разделение.
Простой способ сделать это — сначала настроить его так, как если бы вы делали длинные подразделение, а затем настроить синтетическое подразделение.
Если вам нужен обзор по постановке задачи на деление в длину, не стесняйтесь
чтобы перейти к Урок 36: Длинный
Разделение.
Делитель (то, на что вы делите) находится снаружи коробки. Делимое (то, на что вы делите) находится внутри коробки.
Когда вы записываете дивиденд, убедитесь, что вы записываете его по убыванию степени, и вы вставляете 0 для любых недостающих терминов. Например, если у вас возникла проблема, многочлен, начинается со степени 4, затем следующая наивысшая степень равна 1. Он отсутствует степени 3 и 2. Поэтому, если бы мы поместили его в разделительную рамку, мы бы написал бы так:
.
Это позволит вам выстроить одинаковые термины при решении задачи.
Когда вы устанавливаете это с помощью синтетического деления, напишите c для делителя x — c .
Затем запишите коэффициенты делимого справа, сверху.
Включите любые 0, которые были вставлены для отсутствующих терминов.
Шаг 2. Сбросьте ведущий коэффициент в нижнюю строку.
Шаг 3. Умножьте c на значение, только что написанное в нижней строке.
Поместите это значение прямо под следующим коэффициентом в делимом:
Шаг 4. Добавьте столбец, созданный на шаге 3.
Запишите сумму в нижней строке:
Шаг 5. Повторите пока не сделано.
Шаг 6: Запишите
отвечать.
Числа в последней строке составляют ваши коэффициенты частного а также остаток. Последнее значение справа — это остаток. Работая справа налево, следующее число — ваша константа, следующее — коэффициент для x , следующий коэффициент на х в квадрате и т.д…
Степень частного на единицу меньше степени делимого. Например, если степень делимого равна 4, то степень частное 3.
Пример 1 : Деление с использованием синтетического деления: .
Шаг 1: Настройте синтетический разделение.
Полное деление выглядело бы вот так:
Синтетическое деление будет выглядеть так:
Шаг 2.
Принесите
вниз по ведущему коэффициенту в нижнюю строку.
*Сбить 2
Шаг 3. Умножьте c на значение, только что написанное в нижней строке.
*(-1)(2) = -2
*Поместите -2 в следующую колонку
Шаг 4. Добавьте столбец, созданный на шаге 3.
*-3 + (-2) = -5
Шаг 5. Повторите пока не сделано.
Шаг 6: Напишите
вне ответ.
Числа в последней строке составляют ваши коэффициенты частного а также остаток. Последнее значение справа — это остаток. Работая справа налево, следующее число — ваша константа, следующее — коэффициент для x , следующий коэффициент для х в квадрате и т.д…
Пример 2 : Разделить с использованием синтетического деления:
Шаг 1: Настройка синтетического разделение.
Полное деление выглядело бы вот так:
Синтетическое деление будет выглядеть так:
Шаг 2.
Принесите
вниз по ведущему коэффициенту в нижнюю строку.
*Наберите 1
Шаг 3. Умножьте c на значение, только что написанное в нижней строке.
*(1)(1) =1
*Поместите 1 в следующую колонку
Шаг 4. Добавьте столбец, созданный на шаге 3.
*0 + 1 = 1
Шаг 5. Повторите пока не сделано.
Шаг 6: Напишите
вне ответ.
Числа в последней строке составляют ваши коэффициенты частного а также остаток. Последнее значение справа — это остаток. Работая справа налево, следующее число — ваша константа, следующее — коэффициент для x , следующий коэффициент для х в квадрате и т.д…
Теорема об остатках
Если многочлен f ( x ) делится на x — c , затем
напоминание равно f ( c ).
Это означает, что мы можем применить синтетическое деление и последнее число справа, который является остатком, расскажет нам, что такое функционал значение c есть.
Пример
3 : Дано ,
используйте теорему об остатках, чтобы найти f (-2).
Шаги к синтетическому подразделению
так же, как описано выше. Отличается то, что является окончательным
ответ будет. На этот раз мы ищем функционал
значение, поэтому наш ответ будет не частным, а только напоминанием.
Используя синтетическое деление, чтобы найти остаток, мы получаем:
Опять же, наш ответ на этот раз не частное, а остаток.
Окончательный ответ: f (-2) = -27
Фактор Теорема
Если f ( x ) является многочленом И
1) f ( c ) = 0, тогда x — c является коэффициентом f ( x ).
2) x — c является коэффициентом f ( x ),
тогда f ( c ) = 0,
Имейте в виду, что алгоритм деления
делимое = делитель (частное) + напоминание
Таким образом, если напоминание равно нулю, вы можете использовать это, чтобы помочь вам разложить полином на множители.
Если x — c является фактором,
вы можете переписать исходный многочлен как ( x — c ) (частное).
Вы можете использовать синтетическое деление, чтобы помочь вам с этим типом проблемы.
Теорема об остатках утверждает, что ф ( с )
= остаток. Итак, если остаток равен 0, когда вы применяете
синтетическое деление, тогда х — c является коэффициентом f ( х ).
Пример 4 : Используйте синтетическое деление, чтобы разделить на x — 2. Используйте результат, чтобы найти все нули ф .
Шаги к синтетическому подразделению
так же, как описано выше. Отличается то, что является окончательным
ответ будет.
На этот раз мы ищем все нули f . Мы начнем с деления с помощью
синтетическое деление, а затем переписать f ( x )
как ( x — 2)(частное).
Используя синтетическое деление, чтобы найти частное, мы получаем:
Обратите внимание, что остаток равен 0. Это означает, что ( x — 2) является коэффициентом .
Перезапись f ( x ) как ( x — 2)(частное) получаем:
Нам нужно закончить эту задачу, приравняв this к нулю и
решить это:
*Множитель трехчлена
* Установите 1-й коэффициент = 0
* Установите 2-й коэффициент = 0
*Установить 3-й фактор = 0
Нули этой функции х = 2,
-3 и -1.
Пример 5 : Решить уравнение учитывая, что 3/2 является нулем (или корнем) числа .
Шаги к синтетическому подразделению
так же, как описано выше. Отличается то, что является окончательным
ответ будет. На этот раз мы ищем все нули
выключенный. Мы начнем с деления, используя синтетическое деление, а затем
перепишите f ( x ) как
( x — 3/2)(частное).
Используя синтетическое деление, чтобы найти частное, мы получаем:
Обратите внимание, что остаток равен 0. Это означает, что ( x — 3/2) является коэффициентом .
Перезапись f ( x ) как ( x — 3/2)(частное) получаем:
Нам нужно закончить эту задачу, приравняв this к нулю и
решить это:
*Учитывайте разницу квадратов
*Обратите внимание, что 1-й фактор равен 2, что является константой,
, что никогда не может = 0
* Установите 2-й коэффициент = 0
* Установить 3-й фактор = 0
* Установите 4-й коэффициент = 0
Решение или нули этой функции: x = 3/2, -1 и 1.
Практические задачи
Это тренировочные задачи, которые помогут вам перейти на следующий уровень. Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти виды проблем. Математика работает так же, как и все в противном случае, если вы хотите добиться в этом успеха, вам нужно практиковаться. Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь на этом пути и много практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы преуспеть в своем виде спорта или игре на инструменте. На самом деле практики много не бывает.
Чтобы получить максимальную отдачу от этого, вам следует решить проблему на
свой собственный, а затем проверьте свой ответ, нажав на ссылку для ответа/обсуждения
для этой проблемы . По ссылке вы найдете ответ
а также любые шаги, которые привели к поиску этого ответа.
Практика Задача 1а: Деление с помощью синтетического деления.
1а.
(ответ/обсуждение
к 1а)
Практика Задача 2a: Учитывая функцию f ( x ), используйте остаток Теорема для нахождения f (-1).
2а.
(ответ/обсуждение
к 2а)
Практика Задача 3а: Решите данное уравнение, учитывая, что 1/2 равно нулю (или корень) из .
3а.
(ответ/обсуждение
к 3а)
Нужна дополнительная помощь по этим темам?
Следующие веб-страницы могут помочь вас в темах, которые были освещены на этой странице:
http://www.
purplemath.com/modules/synthdiv.htm
Эта веб-страница поможет вам с синтетическим делением.
http://www.purplemath.com/modules/remaindr.htm
Эта веб-страница поможет вам с теоремой об остатках.
http://www.purplemath.com/modules/factrthm.htm
Эта веб-страница поможет вам с теоремой о факторах.
Обратитесь за помощью за пределами Класс, найденный в Учебнике 1: Как преуспеть в математическом классе для некоторых больше предложений.
WTAMU > Виртуальная математическая лаборатория > Алгебра колледжа
Последняя редакция Ким Сьюард от 15 марта 2012 г.
Авторское право на все содержимое (C) 2002–2012 гг.
, WTAMU и Ким Сьюард. Все права защищены.
Деление многочленов | Колледж Алгебра
Результаты обучения
- Используйте деление в длину для деления многочленов.
- Используйте синтетическое деление для деления многочленов.
Внешний вид Мемориала Линкольна в Вашингтоне, округ Колумбия, представляет собой большое прямоугольное тело длиной 61,5 м (м), шириной 40 м и высотой 30 м. [1] Мы можем легко найти объем, используя элементарную геометрию.
[латекс]\begin{array}{l}V=l\cdot w\cdot h\hfill \\ \text{}V=61,5\cdot 40\cdot 30\hfill \\ \text{}V=73 800 \hfill \end{массив}[/latex] 93} \справа)[/латекс]. Предположим, мы знаем объем, длину и ширину. Мы могли бы разделить, чтобы найти высоту.
[латекс]\begin{array}{l}h=\frac{V}{l\cdot w}\hfill \\ \text{}h=\frac{73,800}{61.5\cdot 40}\hfill \ \ \text{}h=30\hfill \end{array}[/latex]
Как видно из приведенных выше размеров, высота составляет 30 м. Мы можем использовать аналогичные методы, чтобы найти любое из недостающих измерений.
{2}+54х[/латекс] . Длина тела равна 3 х ; ширина определяется как [латекс]х — 2[/латекс]. Чтобы найти высоту тела, мы можем использовать полиномиальное деление, которому посвящен этот раздел.
Мемориал Линкольна, Вашингтон, округ Колумбия (кредит: Рон Когсуэлл, Flickr)
Полиномиальное длинное деление
Мы знакомы с алгоритмом длинного деления для обычной арифметики. Начнем с деления на цифры делимого, имеющие наибольшую разрядную стоимость. Мы делим, умножаем, вычитаем, включаем цифру в следующую разрядную позицию и повторяем. Например, давайте разделим 178 на 3 в длинное деление.
Другой способ взглянуть на решение как на сумму частей. Это должно выглядеть знакомо, так как это тот же метод, который используется для проверки деления в элементарной арифметике.
[латекс]\begin{массив}{l}\left(\text{делитель}\cdot \text{частное}\right)\text{ + остаток}\text{ = делимое}\hfill \\ \left( 3\cdot 59\right)+1 = 177+1 = 178\hfill \end{array}[/latex]
Мы называем это алгоритмом деления и обсудим его более формально после рассмотрения примера.
9{2}-7x+18\right)-31[/latex]
Мы можем идентифицировать делимое , делитель , частное и остаток .
Запись результата таким образом иллюстрирует алгоритм деления.
Общее примечание: Алгоритм деления
Алгоритм деления утверждает, что для полиномиального делимого [латекс]f\left(x\right)[/латекс] и ненулевого полиномиального делителя [латекс]d\левый (x\right)[/latex], где степень [латекса]d\left(x\right)[/latex] меньше или равна степени [латекса]f\left(x\right)[/ латекс], существуют уникальные многочлены [латекс]q\left(x\right)[/latex] и [latex]r\left(x\right)[/latex] такие, что
[латекс]f\влево(х\вправо)=d\влево(х\вправо)q\влево(х\вправо)+r\влево(х\вправо)[/латекс]
[латекс]q\ left(x\right)[/latex] – частное, а [latex]r\left(x\right)[/latex] – остаток. Остаток либо равен нулю, либо имеет степень строго меньше, чем [latex]d\left(x\right)[/latex].
Если [латекс]r\влево(х\вправо)=0[/латекс], то [латекс]d\влево(х\вправо)[/латекс] равномерно делится на [латекс]f\влево(х\вправо) )[/латекс].
Это означает, что оба [латекс]d\left(x\right)[/latex] и [латекс]q\left(x\right)[/latex] являются множителями [латекс]f\left(x\right)[ /латекс].
Как сделать: Имея многочлен и двучлен, используйте деление в длину, чтобы разделить многочлен на двучлен
- Задайте задачу деления.
- Определите первый член частного, разделив старший член делимого на старший член делителя.
- Умножьте ответ на делитель и запишите его ниже подобных членов делимого.
- Вычтите нижний бином из членов над ним.
- Уменьшите следующий член дивиденда. 9{2}+4x+5[/latex] на [latex]x+2[/latex] с использованием алгоритма длинного деления.
Окончательный вид процесса выглядел так:
В таблице много повторений. Если мы не будем записывать переменные, а вместо этого выстроим их коэффициенты в столбцы под знаком деления, а также исключим частичные произведения, мы уже получим более простую версию всей задачи.
Синтетическое деление несет в себе это упрощение еще на несколько шагов.
Сверните таблицу, переместив каждую из строк вверх, чтобы заполнить все свободные места. Кроме того, вместо деления на 2, как при делении целых чисел, а затем умножения и вычитания среднего произведения, мы меняем знак «делителя» на -2, умножаем и складываем. Процесс начинается с уменьшения старшего коэффициента. 92} -7x+18[/latex], а остаток равен –31. Процесс будет более понятен в следующих примерах.A Общее примечание: Синтетическое деление
Синтетическое деление — это сокращение, которое можно использовать, когда делитель является биномом в форме x — k . В синтетическом делении в процессе деления используются только коэффициенты.
Как сделать: Имея два многочлена, используйте синтетическое деление для деления
- Запишите k для делителя.
- Запишите коэффициенты делимого.
- Уменьшить старший коэффициент.
- Умножить старший коэффициент на k . Напишите произведение в следующем столбце.
- Добавьте условия второго столбца.
- Умножьте результат на k . Напишите произведение в следующем столбце.
- Повторите шаги 5 и 6 для остальных столбцов.
- Используйте нижние числа, чтобы написать частное. Число в последнем столбце является остатком и имеет степень 0, следующее число справа имеет степень 1, следующее число справа имеет степень 2 и так далее. 9{2}-23x+6[/латекс]. Ширина прямоугольника равна 90 833 x 90 834 + 6. Найдите выражение для длины прямоугольника.
Показать решение
Ключевые уравнения
Алгоритм деления [латекс]f\влево(х\вправо)=d\влево(х\вправо)q\влево(х\вправо)+r\влево(х\вправо)[/латекс], где [латекс]q\влево( х\справа)\ne 0[/латекс] Ключевые понятия
- Длинное деление полинома можно использовать для деления полинома на любой полином равной или меньшей степени.
- Алгоритм деления говорит нам, что полиномиальное делимое может быть записано как произведение делителя и частного, прибавленного к остатку.
Сверните таблицу, переместив каждую из строк вверх, чтобы заполнить все свободные места. Кроме того, вместо деления на 2, как при делении целых чисел, а затем умножения и вычитания среднего произведения, мы меняем знак «делителя» на -2, умножаем и складываем. Процесс начинается с уменьшения старшего коэффициента. 92} -7x+18[/latex], а остаток равен –31. Процесс будет более понятен в следующих примерах.
