Умножение обыкновенных и десятичных дробей: Умножение обыкновенных и десятичных дробей

Содержание

§ Умножение десятичных дробей

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Скрыть меню

На главную страницу

Войти при помощи

Темы уроков

Начальная школа

Геометрия: начальная школа
Действия в столбик
Деление с остатком
Законы арифметики
Периметр
Порядок действий
Разряды и классы. Разрядные слагаемые
Счет в пределах 10 и 20

Математика 5 класс

Взаимно обратные числа и дроби
Десятичные дроби
Натуральные числа
Нахождение НОД и НОК
Обыкновенные дроби
Округление чисел
Перевод обыкновенной дроби в десятичную
Площадь

Проценты
Свойства сложения, вычитания, умножения и деления
Среднее арифметическое
Упрощение выражений
Уравнения 5 класс
Числовые и буквенные выражения

Математика 6 класс

Масштаб
Модуль числа
Окружность. Площадь круга
Отношение чисел
Отрицательные и положительные числа
Периодическая дробь
Признаки делимости
Пропорции
Рациональные числа
Система координат
Целые числа

Алгебра 7 класс

Алгебраические дроби
Как применять формулы сокращённого умножения
Многочлены
Одночлены
Системы уравнений
Степени
Уравнения
Формулы сокращённого умножения
Функция в математике

Геометрия 7 класс

Точка, прямая и отрезок
Что такое аксиома и теорема

Алгебра 8 класс

Квадратичная функция. Парабола
Квадратные неравенства
Квадратные уравнения
Квадратный корень
Неравенства
Системы неравенств
Стандартный вид числа
Теорема Виета

Алгебра 9 класс

Возрастание и убывание функции
Нули функции
Область определения функции
Отрицательная степень
Среднее
геометрическое
Чётные и нечётные функции

Алгебра 10 класс

Иррациональные числа

Алгебра 11 класс

Факториал

Эксперт — это человек, который больше уже не думает; он знает.

Фрэнк Хаббард

на главную

Введите тему

Русский язык Поддержать сайт

Десятичные дроби Как читать десятичные дроби Сложение десятичных дробей Вычитание десятичных дробей Умножение десятичных дробей Деление десятичных дробей Как сравнивать десятичные дроби

Умножение десятичных дробей происходит в три этапа.

Десятичные дроби записывают в столбик и умножают как обыкновенные числа.
Считаем количество знаков после запятой у первой десятичной дроби и у второй. Их количество складываем.
В полученном результате отсчитываем справа налево столько же цифр, сколько получилось их в пункте выше и ставим запятую.

Пример:

Записываем десятичные дроби в столбик и умножаем их как натуральные числа, не обращая внимания на запятые. То есть 3,11 мы рассматриваем как 311, а 0,01 как 1.

Получили 311. Теперь считаем количество знаков (цифр) после запятой у обеих дробей. В первой десятичной дроби два знака и во второй — два. Общее количество цифр после запятых:
2 + 2 = 4
Отсчитываем справа налево 4 знака (цифры) у полученного числа. В полученном результате цифр меньше, чем нужно отделить запятой. В таком случае нужно слева приписать недостающее число нулей.
У нас не хватает одной цифры, поэтому приписываем слева один ноль.

Запомните!

При умножении любой десятичной дроби на 10; 100; 1000 и т.д. запятая в десятичной дроби перемещается вправо на столько знаков, сколько нулей стоит после единицы.

Примеры:

70,1 · 10 = 701
0,023 · 100 = 2,3
5,6 · 1 000 = 5 600

Запомните!

Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д., надо в этой дроби перенести запятую влево на столько знаков, сколько нулей стоит перед единицей.

Считаем и ноль целых!

Примеры:

12 · 0,1 = 1,2
0,05 · 0,1 = 0,005
1,256 · 0,01 = 0,012 56

Умножение и деление десятичных дробей

Умножение
Деление

Умножение

Умножение десятичных дробей сводится к умножению соответствующих натуральных чисел, и правильному определению места запятой в полученном результате.

Пример. Найти произведение чисел 2,13 и 1,2.

Решение: можно перемножить числа 2,13 и 1,2, заменив их обыкновенными дробями:

2,13 · 1,2	=	2	13	·	1	2	=	213	·	12	=
			100			10		100		10

=	213 · 12	=	2556	= 2,556.
	100 · 10		1000

Можно сказать, что мы перемножили натуральные числа, которые получатся если у данных десятичных дробей отбросить запятые. Так как знаменатели тоже перемножаются, то в знаменателе вышло число с тремя нулями, а в соответствующей десятичной дроби — три цифры после запятой. Значит в результате умножения двух десятичных дробей, ответ будет содержать столько знаков после запятой, сколько их было в обоих множителях вместе.

Данное произведение можно посчитать и столбиком, заменив дроби на натуральные числа:

Из рассмотренного примера можно сделать вывод, что:

Чтобы перемножить две десятичные дроби, достаточно перемножить их как натуральные числа, и в полученном произведении отделить справа запятой столько знаков, сколько их было в множимом и множителе вместе.

Данное правило работает и для умножения десятичной дроби на натуральное число. Только в случае, когда один из множителей — натуральное число, количество десятичных знаков в результате будет равно количеству знаков дробного множителя.

Пример. Найти произведение чисел 4,324 и 11:

Решение:

4,324 · 11 = 47,564.

Деление

Чтобы разделить десятичную дробь на целое число, нужно сначала разделить целую часть (если она есть), затем поставить запятую в неполном частном и приступить к делению дробной части:

В этом примере мы сначала разделили 13 на 4 и записали в частное 3, затем мы поставили в частном запятую, так как у нас в остатке осталась единица, которую на 4 мы уже поделить не могли, затем мы продолжили делить дробную часть. Особенность этого примера заключается в том, что когда мы получили в частном 9 сотых, то обнаружили остаток, равный 2 сотым, мы раздробили этот остаток на тысячные доли, получили 20 тысячных и довели деление до конца.

Чтобы разделить десятичную дробь (или целое число) на десятичную дробь, нужно в делимом и в делителе перенести запятую на столько цифр вправо, сколько их после запятой в делителе, после чего выполнить деление по правилу деления на целое число.

В качестве примера разделим 72,9 на 0,09:

Также можно осуществить деление десятичной дроби (или целого числа) на десятичную дробь, представив оба числа в виде обыкновенных дробей:

Таким образом, частное двух десятичных дробей всегда можно записать в виде обыкновенной дроби.

Умножение дробей и десятичных знаков — The Math Doctors

(Новый вопрос недели)

Давайте рассмотрим быстрый вопрос из середины сентября, на который было несколько разных ответов. В некотором смысле это простой вопрос; но мы пойдем немного дальше, так что продолжайте читать до конца.

Можно ли умножить дробь на десятичную?

Азраф спросил:

Можно ли умножить дробь на десятичное число?

Нас регулярно учат, как умножать две дроби и как умножать два десятичных числа; но что происходит, когда вы объединяете их? Пример был бы полезен, чтобы убедиться, что мы имеем дело с той проблемой, с которой имеет дело Азраф, но вопрос достаточно ясен, если не считать того факта, что его, вероятно, не следует воспринимать буквально как вопрос «да/нет»! Большой вопрос, как ? И, может быть, есть какой-то конкретный способ сделать такое умножение напрямую на ?

Три способа

Я ответил, выбрав для начала простой пример:

Привет, Азраф.
Быстрый ответ: да . Дроби и десятичные дроби являются числами, поэтому их можно умножать.
Длинный ответ: Я хочу посмотреть, что вы думаете, когда задаете вопрос. Возможно, на самом деле вы спрашиваете что-то вроде этого: Могу ли я умножить дробь и десятичное число без предварительного преобразования одного вида в другой ?
Например, мы можем умножить 1/3 × 0,75, преобразовав 1/3 в (приблизительное) десятичное число 0,3333 и умножив, чтобы получить 0,249975, что округляется до 0,25.
Или мы можем сделать это, преобразовав 0,75 в дробь 3/4, а затем умножив 1/3 × 3/4 = 1/4. Этот ответ точен.

Но нам не нужно явно преобразовывать. Вместо этого мы можем просто разделить 0,75 на 3, чтобы получить 0,25 (опять же точно). Здесь мы ничего не конвертировали, а использовали правила работы с дробями. Мы можем думать об этом как о переписывании 1/3 × 0,75 как дроби 0,75/3 и упрощении путем деления.
Есть несколько других способов сделать это.
Я хотел бы услышать, что конкретно вы имели в виду, чтобы мы могли обсудить ваши мысли.

Мой первый предложенный метод выполняет умножение в десятичной форме : $$\frac{1}{3}\times 0,75 = 0,333…\times 0,75 = 0,249975…\примерно 0,25$$ Это создает впечатление, что ответ не обязательно точен; и это требует долгой и утомительной работы, если вы хотите умножить вручную. (Если вы используете этот метод на калькуляторе, вы просто будете рассматривать дробь как деление, которое будет автоматически выполнено как десятичное число: $1\div 3\times 0,75 = 0,25$. Делая это таким образом, калькулятор не округляем, и получим ответ точнее, чем вручную.)

Мой второй метод выполняет умножение в дробной форме : $$\frac{1}{3}\times 0,75 = \frac{1}{3}\times \frac{3}{4} = \frac{ 1\times 3}{3\times 4} = \frac{1}{4}$$ Отсюда ясно, что наш ответ на самом деле точен. Если мы сделаем это вручную, трудная часть будет заключаться в преобразовании десятичной дроби в дробь путем деления в большую сторону (хотя в этом случае вы вполне можете просто распознать ее). Тогда мы должны упростить ответ. Но это достаточно просто. (Используя калькулятор, вы должны иметь возможность конвертировать десятичную дробь в дробь; мой TI-30X IIS делает это для 0,75 с помощью кнопки «F◄►D», но он не работает для более уродливых десятичных дробей, таких как 0,7557. .)

Мое третье предложение использует дробных методов с десятичным числом так же, как мы умножаем дробь $\frac{1}{3}$ на целое число 75: $$\frac{1}{3}\times 0,75 = \frac{1}{3}\times \frac{0,75}{1} = \frac{1\times 0,75}{3\times 1} = \frac{0,75}{3} = 0,25$$

конкретная проблема

Теперь, как и предполагалось, Азраф привел конкретный пример; как я и ожидал, он оказался немного сложнее моего намеренно простого, но ненамного:

Я хочу сделать такой расчет: 110/100×694.44. Я изо всех сил пытаюсь это сделать.

Пока я был занят тем утром, доктор Рик заинтересовался и ответил:

Привет, Азраф. Доктор Петерсон, вероятно, поделится с вами своими мыслями, но пока позвольте мне указать, что все три метода, которые он упомянул, могут быть применены к вашему выражению:
110/100 × 694,44
Во-первых, мы можем преобразовать дробь 110/100 в десятичную; это особенно легко из-за его знаменателя.
Можете ли вы сделать это, а затем завершить умножение?
Во-вторых, мы можем преобразовать десятичное число 694,44 в дробь. Это обратный процесс, который вы использовали бы для преобразования 110/100 в десятичное; на самом деле мы получим тот же знаменатель, 100.
В-третьих, мы можем использовать правила работы с дробями. Как бы вы умножили 110/100 на целое число 694? Вы сможете сделать то же самое с 694,44 вместо 694; если вы не можете понять, как это сделать, покажите нам шаги, которые вы бы использовали, и мы сможем помочь.
На самом деле, будет полезно, если вы сможете попробовать все три метода и показать нам свою работу. Это даст нам больше тем для разговора и лучшее представление о том, где вы боретесь.

Применим три метода, как я сделал выше:

В виде десятичных дробей: $$\frac{110}{100}\times 694,44 = 1,10\times 694,44 = 763,884$$ Поскольку десятичная дробь заканчивается (деление на 100 всегда будет), это точный ответ, несмотря на то, что он работает с десятичными знаками.

В виде дробей: $$\frac{110}{100}\times 694,44 = \frac{110}{100}\times \frac{69444}{100} = \frac{110\times 69444}{100\times 100} = \frac{7638840}{10000} = \frac{190971}{250}$$ Если нам нужен десятичный ответ, мы можем просто разделить и получить тот же ответ, что и раньше; но работа с дробями предполагает, что нам нужен дробный ответ, а это означает упрощение. Не так просто без кнопки дроби на вашем калькуляторе!

Суммарно: $$\frac{110}{100}\times 694,44 = \frac{110}{100}\times \frac{694,44}{1} = \frac{110\times 694,44}{100\times 1 } = \frac{76388.4}{100} = 763.884$$

Я видел ответ и немного подумал, но когда у меня было время ответить, я обнаружил, что мне нечего добавить:

Доктор Рик сказал именно то, что я собирался сказать, так что это должен быть хороший совет!
Я с нетерпением жду возможности увидеть вашу работу, независимо от того, сможете ли вы сделать ее успешно или нет, так как, возможно, есть что обсудить.

Азраф ответил с некоторой работой:

Это правильно? Перепробовав много, я пришел к этому этапу. Если не так, пожалуйста, опишите это.

Ясно, что это правильно; Азраф использовал мой третий метод, с некоторым упрощением, перед тем, как умножить, сначала отменив 10, а затем разделив, чтобы получить десятичную дробь.

Я ответил одобрением, плюс демонстрация других методов:

Да, верно. Хорошая работа!
Если бы вы преобразовали дробь в десятичную, работа была бы очень похожей. Поскольку 110/100 = 1,1, вам нужно умножить 1,1 × 694,44; делая это вручную, вы должны умножить 11 × 69444, чтобы получить 763884, а затем разделить на 1000 (передвинуть запятую на три знака), чтобы получить 763,884.
А если вы преобразуете 694,44 в дробь, то умножаете 110/100 × 69444/100, поэтому числитель будет 110 × 69444 = 7638840, а знаменатель будет 10000. Все выглядит очень похоже.

Азраф закрыт:

Спасибо за помощь. В ближайшем будущем снова обсудим математические проблемы.
Берегите себя.
Азраф

Старый пример

Но не будем останавливаться на достигнутом. Задача Азрафа решалась всеми тремя способами особенно легко, потому что знаменатель был таков, что дробь была почти десятичной. Давайте сделаем еще пару примеров?

При написании этого поста я нашел только один подобный вопрос в Ask Dr. Math 9Архив 0016, с 1996 года:

 Умножение дроби на десятичную.
Как упростить и умножить:
  40
 ----- х 78,5
  360

Доктор Майк ответил:

 Привет, Гленн!
  
Есть несколько способов сделать это. Если у вас есть калькулятор, вы можете сначала вычислить 40/360, а затем умножить на 78,5.
Если вы делаете это вручную, то проще всего сначала сократить дробь до меньших членов. Числитель 40 и знаменатель 360 кратны 10, поэтому вы можете разделить и числитель, и знаменатель на 10, чтобы получить эквивалент дроби 4/36. Так как 4 раза 9равно 36, эта дробь эквивалентна 1/9.
Ваша первоначальная проблема сейчас
  
    1
   --- х 78,5
    9
  
Это то же самое, что 78,5/9, что вы можете сделать на бумаге с делением в длину.  В любом случае ответом является бесконечно повторяющееся десятичное число 8,722222222... . Хорошее приблизительное значение — 8,722.

Итак, он сначала дал то, что составляет десятичный подход , просто выполнив деление и получив десятичный результат: $$\frac{40}{360}\times 78,5 = 0,111…\times 78,5 = 8,7222…$$ I сделал это на моем калькуляторе, не записывая и не перепечатывая промежуточный результат, так что не было никакого округления (кроме дальнего конца памяти калькулятора). Вероятно, именно так это обычно и делается в реальном мире.

Затем он сделал то, что составляет мой смешанный метод , сначала упростив дробь (что я бы сделал, только если бы это было легко, как это), а затем обработав полученную дробь как деление: $$\frac{40 }{360}\times 78,5 = \frac{1}{9}\times 78,5 = 78,5\div 9 = 8,7222…$$

Если бы у нас была какая-то причина, чтобы получить дробный результат, мы могли бы использовать мой метод чистой дроби . , умножив $\frac{1}{9}\times 78\frac{1}{2}$. Напомним, что мы делаем такое умножение, записывая смешанное число в виде неправильной дроби: $$\frac{40}{360}\times 78,5 = \frac{1}{9}\times 78\frac{1}{2} = \frac{1}{9}\times \frac{157}{2} = \frac{157}{18} = 8\frac{13}{18} $$ Конечно, $\frac{13}{18} = 0,7222…$.

На шаг сложнее!

Давайте займемся еще одним делом, которое связано с последним, что мы делали. В поисках вопросов такого типа, которые кажутся очень редкими, я нашел этот незаархивированный вопрос от 2009 года, который делает еще один шаг вперед:

 У меня есть домашнее задание, с которым у меня проблемы, и я не понимаю, как это сделать. это в классе, но я боюсь спросить своего учителя, потому что я не хочу говорить перед всем классом.
Мне нужно умножить неправильную дробь на десятичную, но я не знаю, как это сделать. Мне было интересно, не могли бы вы объяснить, как получить ответ.
     3,2 лк 10 1/3
Спасибо, что нашли время, чтобы помочь мне!

Разобравшись со вторым вопросом, который я здесь пропустил, я сказал:

 Теперь вернемся к другому вопросу об умножении смешанного числа на десятичное.  Не знаю, чему вас об этом учили! Обычно, когда вам нужно умножить два разных вида числительных, вы переписываете одно в той же форме, что и другое, так что вы можете умножать как обычно. В вашем примере
  3,2 л х 10 1/3
мы можем либо изменить десятичное число на смешанное,
  3 21/100 х 10 1/3
а затем умножить их, преобразовав обе в неправильные дроби, или изменить смешанное число на десятичное,
  3,21 х 10,333...
что немного более неудобно.

Это, конечно, те же методы, которые мы обсуждали. Используя дроби, мы получаем $$3\frac{21}{100}\times 10\frac{1}{3} = \frac{321}{100}\times\frac{31}{3} = \frac{321 \times 31}{100\times 3} = \frac{9951}{300} = \frac{3317}{100} = 33\frac{17}{100}$$

Используя десятичные дроби, мы имеем не- завершающая десятичная дробь, что дает $3,21\times 10\frac{1}{3} \приблизительно 3,21\times 10,333 = 33,16893\приблизительно 33,17$$ Опять же, если я выполняю умножение в своем калькуляторе без округления, он показывает ответ как точно 33.17.

Не зная, была ли конкретная причина проблемы, связанной со смешанным числом, я предложил другой метод, который, вероятно, никогда бы не сделал иначе:

 Вас учили чему-то другому? Единственный другой метод, который я могу придумать (и тот, который имеет какое-то отношение к вашему другому вопросу), - это «распространить», если вы знакомы с этим термином.  Умножение на 10 + 1/3 равносильно умножению на 10 и 1/3 и сложению результатов:
  3,21 х (10 + 1/3) = 3,21 х 10 + 3,21 х 1/3
Умножьте на 10, переместив запятую, и умножьте на 1/3, разделив на 3. Сомневаюсь, что вас этому учили.

Мы находим, что $3,21\times 10 = 32,1$ и $3,21\times\frac{1}{3} = 3,21\div 3 = 1,07$, поэтому результат равен $32,1 + 1,07 = 33,17 $ еще раз.

 Итак, покажите мне, как, по вашему мнению, вы должны это сделать, и позвольте мне увидеть вашу работу. Я помогу вам, если вы ошибетесь, так что не бойтесь показать мне, что вы пытаетесь сделать.
Кстати, я учу взрослых, у которых есть проблемы с некоторыми из этих вещей, и я всегда рад, когда есть кто-то, кто задает вопросы, которые есть у всех остальных! Возможно, вы обнаружите, что ваш класс ждет, пока кто-нибудь осмелится спросить об этом, и за это вы полюбите его больше.

Катя ответила:

 Большое спасибо! Благодаря вам я справился со своей работой и теперь понимаю, что делать.  Я думаю, это замечательно, что вы тратите свое время на помощь таким детям, как я!
Заботиться,
Кэти :-)

Некоторые из наших других задач, описанных выше, были относительно простыми, но эта определенно стоила того, чтобы ее задать! Никогда не бойся спрашивать! Но одна из причин, по которой мы здесь, заключается в том, чтобы предоставить уединенное место, чтобы задать ваши вопросы и получить от нас понимание в обоих смыслах этого слова!

дроби, обыкновенные и десятичные — Студенты | Britannica Kids

Введение

Есть много способов получить сдачу за доллар: два полдоллара, четыре четверти, десять десятицентовиков, 20 пятицентовых монет или 100 пенни. Независимо от того, как производится сдача, доллар разбивается — «раскалывается» — на несколько частей. Эти части называются фракциями, от того же латинского слова ( fractus, означает «сломанный»), от которого происходит разлом.

Все дроби представляют собой части целого. Давно удобно и принято делить вещи на сегменты. Часы делятся на 60 минут каждый. Сутки делятся на 24 часа, а годы на 12 месяцев. Мили делятся на футы, а километры на метры. Каждый из этих сегментов может быть представлен в виде дроби. Один дюйм составляет одну двенадцатую часть или одну двенадцатую фута. Дроби очень полезны, потому что они делают возможными измерения не в целых числах, таких как 1, 2 или 5. Измерения с помощью дробей часто могут быть более точными: точнее сказать «четыре и одна десятая галлона», чем «немного более четырех галлонов».

Типы дробей

В повседневной математике есть два типа дробей: обыкновенные и десятичные. Единственная разница между ними заключается в том, как они написаны. Все дроби записываются с использованием тех же символов, которые используются для записи целых чисел, но символы используются по-другому. Простые дроби записываются как ⁴ / ₁₀ или ⁷ / ₁₀₀ : четыре больше десяти и семь больше ста. Одни и те же числа, представленные в виде десятичных дробей, будут 0,4 и 0,07. Обычно их читали как «четыре точки» и «ноль семь». Они выражают одинаковые суммы.

В обыкновенной дроби число под чертой является знаменателем, а число над чертой — числителем. При чтении обыкновенной дроби первым ставится числитель. Таким образом, ² / ₃ читается как две трети. Любое число, кроме нуля, может быть как знаменателем, так и числителем. В обыкновенной дроби выражается не только количество, но и отношение: отношение одной величины к другой. Например, дробь ¹ / ₂ выражает отношение один к двум: Отношение один к двум состоит в том, что один равен половине двух. Использование коэффициента довольно распространено. Когда пекарь делает пирог, он может использовать две чашки сахара на каждые три чашки муки: соотношение два к трем, и оно может быть выражено дробью, ² / ₃ .

Десятичные дроби называются так потому, что они основаны на десятичной или десятичной системе счисления (см. Системы счисления и числа). Иногда называемые просто «десятичными», все десятичные дроби состоят из одного или нескольких чисел, которым предшествует точка, называемая десятичной запятой: например, 0,4 читается как четыре десятых. Если справа от запятой стоит только одна цифра, дробь всегда читается как «десятые». При наличии двух цифр дробь читается как «сотые», а при наличии трех – как «тысячные». Другими словами, десятичные дроби следуют той же последовательности, что и целые числа, где первая цифра находится в столбце «десятки», вторая — в «сотнях» и так далее (см. Арифметика). Например, десятичная дробь 0,075 читается как «семьдесят пять тысячных», а дробь 0,3852 — как «три тысячи восемьсот пятьдесят две десятитысячных».

В обыкновенных дробях любое число может быть знаменателем. Но в десятичных дробях неписаный знаменатель всегда равен 10 или некоторой степени 10, такой как 100, 1000, 10000 и так далее. Это означает, что преобразовать десятичную дробь в обыкновенную просто, поставив правильный знаменатель под числом справа от десятичной точки. Таким образом, 0,85 становится обыкновенной дробью ⁸⁵ / ₁₀₀ .

Чтобы превратить обыкновенную дробь в десятичную, надо числитель разделить на знаменатель. Таким образом, ³ / ₄ можно изменить на десятичное число 0,75. Однако не все обыкновенные дроби можно преобразовать в такие точные десятичные дроби: ² / ₃, поскольку десятичная дробь представляет собой бесконечный ряд шестерок справа от запятой.

Обыкновенные дроби.

Обыкновенные дроби бывают четырех видов: правильные, неправильные, смешанные и сложные. У правильной дроби числитель меньше знаменателя, например ³ / ₄ . Поэтому значение правильной дроби всегда меньше единицы. В неправильных дробях числитель больше или равен знаменателю, как ⁴ / ₄ или ⁶ / ₅ . Таким образом, все неправильные дроби равны или больше единицы.

Смешанная дробь, также называемая смешанным числом, состоит из целого числа и дроби, например 2 ¹ / ₃ . Любую смешанную дробь можно превратить в неправильную, умножив целое число на знаменатель, прибавив результат к числителю и поместив сумму над исходным знаменателем. Таким образом 2 ¹ / ₃ можно заменить на ⁷ / ₃ .

Сложные дроби, используемые в высшей математике, не состоят из натуральных чисел. Например, квадратный корень из двух на квадратный корень из пяти считается сложной дробью:

Точно так же использование смешанных дробей для числителя и знаменателя приведет к созданию сложной дроби:

Десятичные дроби .

Смешанные десятичные числа, известные как смешанные десятичные числа, возникают, если в числе есть цифры как слева, так и справа от десятичной точки. Примером может служить число 2,38: оно читается как «две и тридцать восемь сотых». Слово «и» используется только там, где стоит десятичная точка, чтобы отделить целое число от десятичной дроби. Во избежание путаницы при чтении десятичных дробей обычно говорят «точка» вместо «и». Число 2,38 будет читаться как «два целых три десятых восемь».

Неправильных десятичных дробей быть не может, потому что ни один числитель (десятичное число) никогда не может превышать понятный знаменатель (десятые, сотые и т. д.). Все, что больше десятичной дроби, будет смешанным или целым числом. Также было бы невозможно выразить сложную дробь в виде десятичной с какой-либо точностью.

Вычисления с десятичными дробями

Дроби можно складывать, вычитать, умножать и делить так же, как и целые числа. Эти операции легче выполнять с десятичными дробями, потому что процедуры очень похожи на использование целых чисел. Разница заключается в запоминании правильного размещения десятичной точки. Необходимо также отметить, что при сложении или вычитании каждое из чисел должно иметь одинаковое количество знаков после запятой. Чтобы добавить или вычесть нечетные десятичные дроби, возможно, придется добавить нули к одному из чисел. Например, чтобы прибавить 3,68 к 7,5, необходимо поставить ноль в конце второго десятичного знака, чтобы получилось 7,50. А при сложении или вычитании десятичные запятые всегда должны стоять в прямой колонке. Для выполнения этого сложения цифры должны быть записаны так:

Те же самые принципы применяются при вычитании десятичных дробей, и операция идентична вычитанию целых чисел, за исключением наличия десятичной точки. Если бы вышеупомянутую задачу нужно было решить как вычитание, она выглядела бы точно так же; только результат будет другим:

Обратите внимание, что ноль должен быть помещен в конце 7,5, чтобы было из чего вычесть 8.

Умножать десятичные дроби не сложнее, чем целые числа, за исключением того, что нужно помнить о правильном расположении десятичной точки. Основное отличие от сложения и вычитания состоит в том, что для заполнения десятичной дроби не нужно добавлять нули. Это связано с тем, что добавление нулей может привести к путанице в расположении десятичной точки.

Существуют определенные правила умножения с десятичными дробями, которые помогают правильно расставить запятую.

Правило 1. Если десятичная дробь умножается на целое число, количество знаков после запятой в произведении равно количеству знаков после запятой в умножаемом числе.

Задача умножения десятичных шестидесятых (0,6) на четыре (4) выглядит так:

Обратите внимание, что десятичная точка ставится перед 4 в произведении, потому что в произведении был только один десятичный знак. число умножается (0,6).

Правило 2. Если целое число умножается на десятичную, количество знаков после запятой в произведении равно количеству знаков после запятой в множителе. (Обратите внимание, что это противоположно правилу 1, но принцип тот же.) Чтобы умножить 32 на 2,5, задача ставится следующим образом:

Еще раз обратите внимание на размещение десятичной дроби. В множителе (2,5) был только один десятичный знак, поэтому в произведении (80,0) появляется только один. Однако в этом случае десятичную дробь можно исключить, поскольку 80 — это целое число. Если бы множитель был равен 2,6, произведение было бы 83,2, смешанное десятичное число, и десятичная точка была бы сохранена.

Правило 3. Если десятичная дробь умножается на десятичную, количество знаков после запятой в произведении равно количеству знаков после запятой в множителе плюс количество знаков после запятой в умножаемом числе. Если множитель и число, умноженные вместе, имеют в общей сложности четыре знака после запятой, в произведении будет четыре знака после запятой. (Любые нули в конце можно, конечно, исключить.) Задача умножения 0,56 на 0,44 ставится следующим образом:

Сумма показывает четыре десятичных знака, потому что множитель и число, умноженные вместе, имеют четыре десятичных знака. При умножении смешанных десятичных дробей применяется тот же принцип. Произведение 33,5 × 6,055 равно 202,8425 с четырьмя знаками после запятой.

Процесс деления десятичных дробей такой же, как и целых чисел, но необходимо особенно внимательно относиться к расстановке десятичной точки. При делении следует помнить один главный момент: положение запятой в ответе определяется положением запятой в делимом числе. Как и в умножении, здесь могут помочь определенные правила.

Правило 1. Если десятичная дробь делится на целое число, количество знаков после запятой в ответе равно количеству знаков после запятой в делимом десятичном числе.

Таким образом, если 0,06 разделить на 2, ответ будет 0,03.

Правило 2. При делении целого числа на десятичную дробь необходимо сначала преобразовать десятичную дробь в целое, переместив запятую вправо. Затем десятичная точка в делимом числе должна быть перемещена на такое же количество знаков вправо и при необходимости добавлены нули. Затем десятичная точка в ответе ставится непосредственно над десятичной точкой в делимом числе:

Правило 3. При делении десятичного числа на десятичное число снова преобразуется в целое число, при этом десятичная точка в числе делится, а десятичная точка в ответе перемещается соответственно. Следовательно, ответ, полученный при делении 6,816 на 2,13, равен 3,2 с одним десятичным знаком, полученным по этому правилу.

Вычисления с обыкновенными дробями

Эта процедура несколько сложнее, чем с десятичными дробями. Но его можно упростить, если не забыть сделать так, чтобы все дроби имели одинаковый знаменатель. Это легко сделать, потому что деление или умножение обоих членов дроби на одно и то же число не меняет его значения. Поэтому добавить ² / ₃ и ³ / ₄ , необходимо найти общий знаменатель. В данном случае это 12. Задача принимает вид ⁸ / ₁₂ + ⁹ / ₁₂ . Результат находится путем сложения числителей (8 + 9), чтобы получить ¹⁷ / ₁₂ . Этот ответ можно изменить на смешанную дробь или десятичную.

Процесс вычитания аналогичен. Найдите общий знаменатель, затем вычтите один числитель из другого:

При работе со смешанными фракциями, такими как 2 ¹ /₃+3 ³ /₄, изменение их на неподходящие фракции:

112727200, затем нахождение на поиск:

11127272727279272727272727272727 гг.
Это можно изменить обратно на смешанную или десятичную дробь (6 ¹ / ₁₂ или немного больше 6,08).
При умножении дробей умножаются и числитель, и знаменатель. Но не обязательно находить общий знаменатель. Чтобы умножить ³ / ₅ на ² / ₃ , умножьте два числителя (3 и 2), чтобы получить 6, затем два знаменателя (5 и 3), чтобы получить 15. Ответ: ⁶ / ₁₅ . Его можно уменьшить до ² / ₅ , которые имеют то же значение, путем деления обоих членов на 3. Смешанные дроби снова должны быть преобразованы в неправильные дроби перед умножением.
Деление дробей всегда выполняется как умножение. Когда любое целое число, смешанная дробь или правильная дробь делится на другую дробь, эта дробь (делитель) инвертируется.

Затем два числа умножаются, как описано в тексте выше. Чтобы разделить ³ / ₈ на ³ / ₄ , инвертируйте делитель ( ³ / ₄ ), чтобы получить ⁴ / 3 ; затем умножьте, чтобы получить ¹² / ₂₄, которое можно уменьшить до ¹ / ₂.