Приёмы устного счета для быстрого вычисления в уме
Зачем считать в уме, если решить любую арифметическую задачу можно на калькуляторе. Современная медицина и психология доказывают, что устный счет — это тренаж для серых клеточек. Выполнять такую гимнастику необходимо для развития памяти и математических способностей.
Известно множество приёмов для упрощения вычислений в уме. Все, кто видел знаменитую картину Богданова-Бельского «Устный счёт», всегда удивляются — как крестьянские дети решают такую непростую задачу, как деление суммы из пяти чисел, которые предварительно ещё надо возвести в квадрат?
Оказывается, эти дети — ученики известного педагога-математика Сергея Александровича Рачицкого (он также изображен на картине). Это не вундеркинды — ученики начальных классов деревенской школы XIX века. Но все они уже знают приёмы упрощения арифметических расчетов и выучили таблицу умножения! Поэтому решить такую задачку этим детишкам вполне под силу!
Секреты устного счёта
Существуют приемы устного счета — простые алгоритмы, которые желательно довести до автоматизма.
После овладения простыми приёмами можно переходить к освоению более сложных.
Прибавляем числа 7,8,9
Для упрощения вычислений числа 7,8,9 сначала надо округлять до 10, а затем вычитать прибавку. К примеру, чтобы прибавить 9 к двузначному числу, надо сначала прибавить 10, а затем вычесть 1 и т.д.
Примеры:
56+7=56+10-3=63
47+8=47+10-2=55
73+9=73+10-1=82
Быстро складываем двузначные числа
Если последняя цифра двузначного числа больше пяти, округляем его в сторону увеличения. Выполняем сложение, из полученной суммы отнимаем «добавку».
Примеры:
54+39=54+40-1=93
26+38=26+40-2=64
Если последняя цифра двузначного числа меньше пяти, то складываем по разрядам: сначала прибавляем десятки, затем — единицы.
Пример:
57+32=57+30+2=89
Если слагаемые поменять местами, то сначала можно округлить число 57 до 60, а потом вычесть из общей суммы 3:
32+57=32+60-3=89
Складываем в уме трехзначные числа
Быстрый счет и сложение трехзначных чисел — это возможно? Да.
Для этого надо разобрать трехзначные числа на сотни, десятки, единицы и поочередно их приплюсовать.
Пример:
249+533=(200+500)+(40+30)+(9+3)=782
Особенности вычитания: приведение к круглым числам
Вычитаемые округляем до 10, до 100. Если надо вычесть двузначное число, надо округлить его до 100, вычесть, а затем к остатку прибавить поправку. Это актуально если поправка невелика.
Примеры:
67-9=67-10+1=58
576-88=576-100+12=488
Вычитаем в уме трехзначные числа
Если в свое время был хорошо усвоен состав чисел от 1 до 10, то вычитание можно производить по частям и в указанном порядке: сотни, десятки, единицы.
Пример:
843-596=843-500-90-6=343-90-6=253-6=247
Умножить и разделить
Моментально умножать и делить в уме? Это возможно, но без знания таблицы умножения не обойтись. Таблица умножения — это золотой ключик к быстрому счету в уме! Она применяется и при умножении, и при делении.
Вспомним, что в начальных классах деревенской школы в дореволюционной Смоленской губернии (картина «Устный счет») дети знали продолжение таблицы умножения — с 11 до 19!
Хотя на мой взгляд достаточно знать таблицу от 1 до 10, чтобы мочь перемножать бо´льшие числа. Например:
15*16=15*10+(10*6+5*6)=150+60+30=240
Умножаем и делим на 4, 6, 8, 9
Овладев таблицей умножения на 2 и на 3 до автоматизма, сделать остальные расчеты будет проще простого.
Для умножения и деления двух- и трехзначных чисел применяем простые приёмы:
-
умножить на 4 — это дважды умножить на 2;
-
умножить на 6 — это значит умножить на 2, а потом на 3;
-
умножить на 8 — это трижды умножить на 2;
-
умножить на 9 — это дважды умножить на 3.
Например:
37*4=(37*2)*2=74*2=148;
412*6=(412*2)·3=824·3=2472
Аналогично:
-
разделить на 4 — это дважды разделить на 2;
-
разделить на 6 — это сначала разделить на 2, а потом на 3;
-
разделить на 8 — это трижды разделить на 2;
-
разделить на 9 — это дважды разделить на 3.
Например:
412:4=(412:2):2=206:2=103
312:6=(312:2):3=156:3=52
Как умножать и делить на 5
Число 5 — это половина от 10 (10:2). Поэтому сначала умножаем на 10, затем полученное делим пополам.
Пример:
326*5=(326*10):2=3260:2=1630
Еще проще правило деления на 5. Сначала умножаем на 2, а затем полученное делим на 10.
326:5=(326·2):10=652:10=65,2.
Умножение на 9
Чтобы умножить число на 9, необязательно его дважды умножать на 3. Достаточно его умножить на 10 и вычесть из полученного умножаемое число. Сравним, что быстрее:
37*9=(37*3)*3=111*3=333
или
37*9=37*10 — 37=370-37=333
Также давно замечены частные закономерности, которые значительно упрощают умножение двузначных чисел на 11 или на 101. Так, при умножении на 11, двузначное число как бы раздвигается. Составляющие его цифры остаются по краям, а в центре оказывается их сумма. Например: 24*11=264.
При умножении на 101, достаточно приписать к двузначному числу такое же. 24*101= 2424. Простота и логичность таких примеров вызывает восхищение. Встречаются такие задачи очень редко — это примеры занимательные, так называемые маленькие хитрости.
Счет на пальцах
Сегодня еще можно встретить много защитников «пальчиковой гимнастики» и методики устного счета на пальцах. Нас убеждают, что учиться складывать и отнимать, загибая и разгибая пальцы — это очень наглядно и удобно. Диапазон таких вычислений очень ограничен. Как только расчеты выходят за рамки одной операции возникают трудности: надо осваивать следующий прием. Да и загибать пальцы в эпоху айфонов как-то несолидно.
Например, в защиту «пальчиковой» методики приводится приём умножения на 9. Хитрость приёма такова:
- Чтобы умножить любое число в пределах первой десятки на 9, надо развернуть ладони к себе.
- Отсчитывая слева направо, загнуть палец, соответствующий умножаемому числу. К примеру, чтобы умножить 5 на 9, надо загнуть мизинец на левой руке.
- Оставшееся количество пальцев слева будет соответствовать десяткам, справа — единицам. В нашем примере — 4 пальца слева и 5 справа. Ответ: 45.
Да, действительно, решение быстрое и наглядное! Но это — из области фокусов. Правило действует только при умножении на 9. А не проще ли, для умножения 5 на 9 выучить таблицу умножения? Этот фокус забудется, а хорошо выученная таблица умножения останется навсегда.
Также существует еще множество подобных приемов с применением пальцев для каких-то единичных математических операций, но это актуально пока вы этим пользуетесь и тут же забывается при прекращении применения. Поэтому лучше выучить стандартные алгоритмы, которые останутся на всю жизнь.
Устный счёт на автомате
-
Во-первых, необходимо хорошо знать состав числа и таблицу умножения.
-
Во-вторых, надо запомнить приемы упрощения расчётов. Как выяснилось, таких математических алгоритмов не так уж много.
-
В-третьих, чтобы приём превратился в удобный навык, надо постоянно проводить краткие «мозговые штурмы» — упражняться в устных вычислениях, используя тот или иной алгоритм.
Тренировки должны быть короткими: решить в уме по 3-4 примера, используя один и тот же приём, затем переходить к следующему. Надо стремиться использовать любую свободную минутку — и полезно, и нескучно. Благодаря простым тренировкам все вычисления со временем будут совершаться молниеносно и без ошибок. Это очень пригодится в жизни и выручит в непростых ситуациях.
УМНИКИ И УМНИЦЫ: ПРИМЕРЫ (ТРЕНАЖЕРЫ)
👌ГОТОВИМСЯ К ИТОГОВОЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ
Выполни по действиям:
602 630 – 297 480 : 37 · 69 + 8 653 =
424 410 : 47 – 261 + 608 · 34 =
3 807 · 98 + ( 550 701 – 82 989 ) : 64 =2 603 · 58 + ( 100 000 – 19 975 ) : 75 =
170 604 : 36 + ( 60 700 – 358 · 47 ) =
( 258 270 + 8 090 · 67 – 366 860 ) : 48 =
Реши уравнения:
у — 584= 425 856- с = 412
х + 147 = 231 к — 4523 = 2354
4824 : у = 12 х : 220 = 700
15 х у = 255 а х 28 = 1680
Реши задачи:
😼Из города выехал автомобиль со скоростью 40 км/ч.
Через 4 часа вслед за ним выехал второй автомобиль со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов второй автомобиль догонит первый?
😼Из двух посёлков между которыми 5 км, одновременно в одном направлении вышли два пешехода. Скорость пешехода, идущего впереди, 4 км/ч, а скорость пешехода, идущего позади 5 км/ч. Через сколько часов после выхода второй пешеход догонит первого?
😼С одного аэродрома одновременно в противоположных направлениях вылетели два самолёта. Один летел со скорость 420 км/ч, скорость другого на 80 км/ч меньше. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?
😼Из гнезда одновременно в противоположных направлениях полетели две ласточки. Через 20 с расстояние между ними было 680 м. чему равна скорость одной из ласточек, если другая летела со скоростью
16 м/с?
😼Два мальчика одновременно вышли навстречу друг другу из своих домов. Один мальчик шёл со скоростью 50 м/мин, а другой со скоростью 65 м/мин. Через сколько минут они встретятся, если расстояние между домами 1035 м?
😼С двух льдин расстояние между которыми 1785 дм, одновременно навстречу друг другу поплыли два белых медведя .
Скорость первого медведя 27 дм/с. С какой скоростью плыл второй медведь, если они встретятся через 35 с.?
😼Два автомобиля ехали с одинаковой скоростью. Один из них проехал 400 км, а другой — 480 км. Сколько часов был в пути каждый автомобиль, если первый был в пути на 2 часа меньше чем второй?
😼Два шофера возили зерно. Один из них сделал 3 рейса, другой — 5 рейсов за день. Второй шофер перевез на 30 т зерна больше, чем первый. Сколько зерна перевез каждый из шоферов по отдельности, если каждый рейс перевозилось одинаковое количество зерна?
😼Грузовики возили с базы муку в два разных магазина. В первый магазин отвезли 3 грузовика муки, а во второй 5. Сколько центнеров муки отправили в каждый магазин по отдельности, если в первый магазин отправили муки на 40 центнеров меньше, чем во второй?
👌ДЕЛЕНИЕ НА ДВУЗНАЧНОЕ ЧИСЛО
| 6519 : 53 = | 1127 : 49 = | 4872 : 87 = | 288 : 24 = |
| 2805 : 33 = | 5037 : 73 = | 2812 : 76 = | 2870 : 35 = |
| 4268 : 44 = | 18228 : 28 = | 1450 : 25 = | 735 : 15 = |
243:14 3912:12 6405:15 10104:12
6372:12 10914:34 3945:15 7800:24
👌УМНОЖЕНИЕ НА ТРЕХЗНАЧНОЕ ЧИСЛО
👌УМНОЖЕНИЕ НА ДВУЗНАЧНОЕ ЧИСЛО
👌ВЕЛИЧИНЫ
1.
Вырази в миллиметрах.
53 см =……..мм 6 м 46 см = ………мм
3 м 5 дм 8 мм = ……….мм 6 м 4 дм 8 мм = ……….мм
38 см =……..мм 7 м 26 см = ……мм
2. Переведи.
9000 м = ….. км 6040 м = ….. км ….. м 5001 м = ….. км …..м 730 см = ….. дм ….. см
306 мм = ….. см ….. мм 9005 мм = ….. м ….. мм
730 мм = ….. см
….. мм 39 см = ….. дм ….. см
527 см =
….. дм….. 39 мм =
….. см ….. мм
3. Напишите именованные числа в порядке возрастания.
10 см, 20 мм, 9 дм, 11 км, 43 см, 8 мм, 5 м, 62 м, 7 дм.
1. Вырази в центнерах.
6 т 4 ц
5 т 200 кг 84000кг
2. Вырази
в тоннах.
2600 ц
57000 кг 69000ц
3.
Сравни.
329т… 331 ц
673ц… 375т
1000 кг… 1т
340 кг.
.. 304 ц
901кг… 899 ц 871кг… 817 ц
4.
Переведи.
4000 г =… кг 26 т65 ц = … ц
62 т 5 ц = … ц 30 ц = … кг
УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ МНОГОЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ
Раздели заданные многозначные числа на однозначное число.
| 1) | 37464 | 8 | 36830 | 5 | 39809 | 7 | 9314 | 1 | 16548 | 4 | |||||
| … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | ||||||
| … | … | … | … | … | … | … | . .. | … | … | ||||||
| 2) | 7885 | 1 | 69616 | 8 | 12964 | 7 | 90369 | 9 | 6912 | 4 | |||||
| … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | ||||||
| … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | ||||||
| 3) | 9396 | 9 | 10126 | 1 | 50301 | 9 | 18819 | 9 | 22536 | 3 | |||||
. .. | … | … | … | … | … | … | … | … | |||||||
| … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | ||||||
| 4) | 5055 | 3 | 71010 | 9 | 75042 | 9 | 83862 | 9 | 13820 | 5 | |||||
| … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | ||||||
| … | … | … | … | … | … | . .. | … | … | … | ||||||
| 5) | 52025 | 5 | 15230 | 2 | 14100 | 6 | 17346 | 7 | 2188 | 1 | |||||
| … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | ||||||
| … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | ||||||
| 6) | 25092 | 4 | 8126 | 2 | 16236 | 6 | 21352 | 2 | 23988 | 4 | |||||
. .. | … | … | … | … | … | … | … | … | … | ||||||
| … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | ||||||
ЕДНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ ПЛОЩАДИ
И ПЕРЕВОД ВЕЛИЧИН
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ МНОГОЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ
УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ КРУГЛЫХ МНОГОЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ
РЕШИ
ДЕЛЕНИЕ ДВУЗНАЧНОГО НА ОДНОЗНАЧНОЕ
ДЕЛЕНИЕ ДВУЗНАЧНОГО ЧИСЛА
НА ДВУЗНАЧНОЕ
УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ТРЕХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ
ПИСЬМЕННОЕ ДЕЛЕНИЕ ТРЕХЗНАЧНОГО ЧИСЛА
НА ОДНОЗНАЧНОЕ
нажми сюда
👇
Видео «Письменное деление»
Примеры для тренировки: 855 : 5 568 : 2 879 : 3
526 : 2 724 : 4 655 : 3
847 : 7 966 : 6 968 : 4
жми сюда и решай
👇
Письменное деление
Умножение: целые числа
Умножение можно рассматривать как многократное добавление.
Итак, если вы умножаете число
а
по другому номеру
б
, это то же самое, что добавить число
а
снова и снова
б
раз. (Или добавление
б
снова и снова
а
раз). Например:
3 × 5 знак равно 5 + 5 + 5 знак равно 15 3 × 5 знак равно 3 + 3 + 3 + 3 + 3 знак равно 15
Другой способ думать об умножении целых чисел а × б состоит в том, чтобы визуализировать объекты, расположенные в виде прямоугольника, с а ряды и б столбцы.
3 × 5
Обратите внимание, что есть
15
точки на рисунке.
Стандартный алгоритм
Чтобы умножить многозначное число на однозначное с помощью стандартного алгоритма, напишите два числа друг над другом так, чтобы единицы были выровнены по вертикали, а многозначное число — сверху.
127 × 3 _
Умножьте цифру единиц верхнего числа на нижнее число. Запишите разряд единиц результата. Если результат больше 10 , несите цифру десятков, как при сложении.
Здесь, 7 × 3 знак равно 21 , так
1 2 2 7 × 3 _ 1
Теперь умножьте разряд десятков верхнего числа на нижнее число и прибавьте полученную цифру к результату.
Здесь,
2
×
3
знак равно
6
, а потом добавляем
2
получить
8
. С
8
меньше чем
10
, мы не должны нести на этот раз.
1 2 2 7 × 3 _ 8 1
Наконец, умножьте разряд сотен верхнего числа на нижнее число. Здесь, 3 × 1 знак равно 3 .
1 2 2 7 × 3 _ 3 8 1
Так,
127
×
3
знак равно
381
.
Чтобы умножить два многозначных числа , напишите число с большим количеством цифр сверху. Например, чтобы умножить 29 по 543 , мы пишем
543 × 29 _
Сначала умножьте верхнее число на разряд единиц нижнего числа, как описано выше. 3 × 9 знак равно 27 , так что запишите 7 и нести 2 :
5 4 2 3 × 2 9_ 7
4 × 9 36, плюс 2 является 38 , поэтому запишите 8 и несите 3 :
5 3 4 2 3 × 2 9_ 8 7
5
×
9
является
45
, плюс
3
является
48
.
Больше нет цифр для переноса, так что записывайте
48
.
5 2 4 2 3 × 2 9_ 4 8 8 7
Далее нам нужно умножить верхнее число на разряд десятков нижнего номера. Поскольку мы на самом деле умножаем на 20 , не по 2 , мы записываем 0 в качестве заполнителя.
5 4 3 × 29_ 4887 0
3
×
2
является
6
, поэтому запишите
6
.
5 4 3 × 2 9_ 4887 6 0
4 × 2 является 8 , поэтому запишите 8 .
5 4 3 × 2 9_ 4887 8 6 0
5
×
2
является
10
, и больше нет цифр для переноса, поэтому запишите
10
.
5 4 3 × 2 9_ 4887 10 860
Последним шагом является добавление двух результатов.
5 4 3 × 29_ 4887 + 10 860 _ 13947
Так,
543
×
29знак равно
13947
.
Как и сложение, умножение коммутативный для действительных чисел (т. а × б знак равно б × а ; порядок не имеет значения) и ассоциативный (то есть, ( а × б ) × с знак равно а × ( б × с ) ; группировка не имеет значения.) См. Свойства умножения для большего.
Шаблон плана урока Direct Instruction — Математика — Шаблон плана урока Direct Instruction
Шаблон плана урока Direct Instruction
Общая информация
Название урока: Умножение на многозначные числа Предмет(ы): математика Класс/Уровень/Настройка: 5-й Необходимые навыки/предварительные знания: Разрядное значение, факты умножения, умножение на однозначные числа
Стандарты и цели
Государственный/национальный академический стандарт(ы):
NBT.
5.A Умножение многозначных целых чисел Цели обучения: Учащиеся смогут решать задачи на умножение 4-значного числа на 2-значное, используя стандартный алгоритм с вероятностью 75%.
точность.
Технология материалов
SmartBoard Диаграммная бумага Интерактивные тетради. Выходные билеты iPad
SAMR Уровень: Увеличение Использование активности SmartBoard, которую я также могу нажать в Google Classroom как физическое лицо или партнер деятельность позволяет практиковаться и получать немедленную обратную связь от меня.
Требования к языку
Особые способы использования учащимися академического языка (лексика, функции, дискурс, синтаксис) для участия
в учебных задачах посредством чтения, письма, прослушивания и/или разговора, чтобы продемонстрировать свое понимание. Языковые функции: Содержание и языковая направленность учебной задачи представлены активными глаголами в результатах обучения.
Словарь: Многозначное, разрядное значение, единицы, десятки, сотни, тысячи, множитель, произведение, умножение, перегруппировка, стандартный алгоритм, место держатель (или нулевой заполнитель), частичное произведение, множимое
Дискурс и/или синтаксис: Обсуждение: учащиеся будут участвовать в беседах о числах по поводу умножения, чтобы улучшить свои навыки устной речи. Синтаксис: учащиеся ведут интерактивные записные книжки с математическими таблицами и заметками.
Запланированная языковая поддержка: Студенты будут иметь очередь и время для разговора во время упреждающего набора, чтобы повторить то, что мы сделали вчера с умножением 4- цифра однозначными числами
Учебные стратегии и учебные задачи
Упреждающий набор: Описание занятия/Действия учителя и ученика Вопрос к учащимся: Что вы помните? со вчерашнего дня? (умножение 4-значного числа на 1-значное числа)
Обсуждение всей группой
Повернитесь и обсудите вопрос с партнером
Обсуждение всей группой
Поставьте цель обучения на день самостоятельно слова Процедуры представления новой информации и/или моделирования: Описание занятия/Действия учителя и ученика Лексика: повторение вчерашних слов (многозначное число, фактор, произведение, разрядное значение, единицы, десятки, сотни, тысячи, умножить, стандарт алгоритм, перегруппируйтесь) Познакомить с новыми словарными словами: место держатель (или нулевой заполнитель), частичный продукт, множимое Следующие определения будут поставлены на якорная диаграмма: Заполнитель: при умножении на число в разряде десятков (или сотен) необходимо добавить
Повернитесь и поговорите с напарником, чтобы просмотреть вчерашнее словарный запас
Скопируйте новые словарные слова в свои интерактивный блокнот
Скопируйте проблемы, которые я моделирую, в свои интерактивный блокнот
Что дальше? (7 х 4)
Что такое 7 х 4? (28) Я смоделирую как ты пишешь
вниз по 8 в столбце сотен и нести
2 Что будет дальше? (7 х 2)
Что такое 7 х 2? (14) смоделирую как вам нужно
добавить 2 к 14, чтобы получить 16, а 4 идет в
столбец тысяч и 1 идет в десятке
столбец тысяч Теперь, что мне нужно сделать? (поставить заглушку
нуль)
Что дальше? (9х 5)
Что такое 9 х 5? (45) Я смоделирую как ты пишешь
5 в столбце десятков и нести 4 Какой следующий шаг? (9 х 0)
Что такое 9 х 0? (0) смоделирую как вы добавите
4 вы перенесли на ноль и записали 4 в
столбец сотен Что будет дальше? (9 х 4)
Что такое 9 х 4? (36) Я смоделирую, как ты пишешь
6 в столбце тысяч и нести 3 Какой следующий шаг? (9 х 2)
Что такое 9 х 2? (18) смоделирую как вы добавите
от 3 до 18, чтобы получить 21 и написать 1 в десятке
столбец тысяч и 2 в сотне
тысяч столбец Что мы делаем, когда закончим
умножение? (добавьте 2 цифры) буду моделировать
добавление 2 чисел, показывающих, как это так
важно, чтобы у них все было в порядке
правильно Независимая студенческая практика:
Описание занятия/Действия учителя и ученика Я буду ходить и наблюдать за студентами, как
они работают над деятельностью Google Classroom.
я
поможет, ответит на вопросы и прояснит
заблуждения по мере необходимости.
Учащиеся будут работать в Google Classroom на своих iPad для завершения самостоятельной работы. Они будут сможет продемонстрировать свой уровень понимание стандартного алгоритма и
На активности будут следующие проблемы: 5284 х 94 6301 х 32 2833 х 81 4025 х 40 3536 x 67
умножение многозначных чисел.
Кульминация или завершение процедуры/мероприятия: Описание занятия/Действия учителя и ученика Выходной билет Ученики продемонстрируют свои знания о стандартный алгоритм и умножение на 4 проблемы. 2039 х 23 4937 х 35 7251 х 44 1490 x 53
Учащиеся заполняют выходной билет показать свои знания об умножении и стандартный алгоритм.
Дифференцированное обучение
Подумайте, как приспособиться к потребностям каждого типа учащихся. Убедитесь, что вы предоставляете конкретное содержание
приспособления, которые помогают удовлетворить различные потребности в обучении.