Умножение в столбик объяснение: Ошибка 403 — доступ запрещён

Деление в столбик — объяснение (3 класс)

Сегодня мы рассмотрим деление в столбик — объяснение (3 класс).

Бывают небольшие числа, и с ними можно работать в уме. Бывают очень большие числа, для таких чисел люди нашли разные способы умножения и деления. Есть умножение в столбик. Это замечательно, там сразу видно что куда необходимо переносить и куда добавлять. Конечно, если аккуратно записывать. Но если есть умножение в столбик, тогда должно быть и деление в столбик.

Люди нашли удобный способ представления деления больших чисел, чтобы ничего не забыть.

Пример:

Это удобно, но почему так?

Сегодня в этом разбираются Бом, Бим и ребята.

Содержание статьи:

Деление — это действие обратное умножению

Деление двух чисел — это действие обратное к умножению. Используется для нахождения одного из неизвестных (первого или второго множителя) в операции умножения. Делить на ноль — нельзя.

Деление в столбик — объяснение (3 класс)

Деление в столбик — это удобный способ представления деления одного числа на другое.

Сегодня ребята пришли раньше на представление и пошли осматривать цирк. По дороге им встретился Бим, который вез тележку с тремя коробками.

— Здравствуйте, ребята! — обрадовался. Бим. — Пойдемте за кулисы, поможете мне и Бому!

Бим и ребята пошли к Бому. В трех коробках находились бананы: в первой большой коробке лежали два больших пакета, в каждом большом пакете лежало по 100 бананов. Во второй, средней коробке, лежали два средних пакета; и здесь в каждом среднем пакете лежало по 10 бананов. В третьей маленькой коробке лежало четыре банана.

— Давайте посчитаем сколько всего бананов получается, — предложил Бим. — В большом пакете 100 бананов. Всего 2 больших пакета. В двух больших пакетах будет:

2 х 100 = 200 бананов.

Всего в большой коробке лежит 200 бананов. Теперь считаем сколько бананов в средней коробке: два пакета по 10 бананов,

2 х 10 = 20 бананов.

В маленькой коробке 4 банана. Получается, что во всех трех коробках будет:

200 + 20 + 4 = 224 банана.

Мне буфетчица сказала, что надо поделить эти бананы на 14 представлений и дать тебе, Бом, для твоих подопечных. Вот, что я придумал. Давайте все бананы высыплем в одну коробку и будем раскладывать по одному банану на 14 подносов пока все бананы не закончатся.

Бим начал высыпать все бананы в маленькую коробку.

— Здесь, конечно, бананов немного, а если бы бананов была тонна, то ты тоже по одному банану раскладывал бы? — поинтересовался Бом. — Очень легко запутаться. Давай придумаем другой способ.

— Ребята, — обратился Бом к школьникам, — помогите Биму все бананы сложить на место. В большой коробке должно быть два больших пакета по 100 бананов, всего в большой коробке будет 200 бананов. В средней коробке два средних пакета по 10 бананов в каждом пакете, всего в средней коробке будет 20 бананов. В маленькой коробке будет четыре банана.

И давай, Бим, договоримся, что в большой коробке будут лежать только большие пакеты по 100 бананов, в средней только средние пакеты по 10 бананов, в маленькой коробке только оставшиеся бананы без никаких пакетиков.

Ребята быстро помогли Бому и Биму.

— Вот теперь всё на месте, — подытожил Бом. — Давайте теперь будем делить так, чтобы бананов хватило на 14 представлений. В большой коробке два больших пакета, два на 14 не делится. А что, если мы бананы переложим из большой коробки в среднюю? Но для этого нужно достать каждый большой пакет и выложить из него бананы по 10 штук в средние пакети, и тогда мы можем бананы из большой коробки переложить в среднюю коробку.

Бом достал большой пакет из большой коробки. Ребята переложили бананы в средние пакеты и начали считать:

— Из одного большого пакета получается 10 средних пакетов по 10 бананов.

— У нас два больших пакета, значит из двух больших пакетов у нас получается 20 средних пакетов по 10 бананов, продолжил Бом. — Мы все средние пакеты помещаем в среднюю коробку.

Ого! В средней коробке уже 22 средних пакета. Такое количество уже делится на 14, это у нас неполное деление с остатком. Получается, на каждое представление будет по одному среднему пакету.

Бом взял 14 подносов и разложил по 1 среднему пакетику на каждый поднос:

— У нас было 22 средних пакетика, 14 мы разложили по местам, остаток 8 средних пакетиков в средней коробке и 4 банана в маленькой. Восемь на четырнадцать не делится. Но если мы оставшиеся в средней коробке бананы в восьми средних пакетах высыплем в маленькую коробочку, то получится в маленькой коробочке 84 банана:

8 х 10 + 4 = 84.

84 банана делятся на 14, получается по 6 бананов, то есть мы на каждый поднос должны добавить еще по 6 бананов. У нас всего 14 подносов, и на каждом подносе лежит одинаковое количество бананов. Значит мы поделили поровну все бананы, которые у нас были. На каждом подносе 1 средний пакет и 6 бананов. Выходит, что всего на каждом подносе по 16 бананов.

— Неужели всякий раз придется по разным пакетикам раскладывать, чтобы правильно поделить? — озадаченно спросил Бим.

— Совсем не обязательно, — ответил Коля. — Люди вместо коробок и пакетиков договорились, как будет называться каждая из цифр в числе. Цифра, которая стоит в числе самой правой, называется разрядом единиц. У нас в маленькой коробке 4 банана, значит число единиц — 4.

— Следующая цифра, которая находится левее разряда единиц называется разрядом десятков, — продолжила Оля. — У нас в средней коробке 2 пакета, значит число десятков равно 2. И мы знаем, что 2 десятка — это 20, и у нас в средней коробке как раз 2 пакетика по 10 бананов, всего 20 бананов.

— Следующая цифра, которая находится левее разряда десятков называется разрядом сотен. У нас это самая большая коробка, в ней два больших пакета, значит число бананов 200, — закончил Вася. — И мы знаем, что 2 сотни — это число 200.

— А какие еще числа могут стоять … в разрядах? — поинтересовался Бим.

— Число в каждом из разрядов может быть любой цифрой от 0 до 9, — ответил Биму Коля. — Еще левее от разряда сотен стоит разряд тысяч. У нас нет еще большей коробки, в которой лежали бы пакеты с количеством бананов по 1000 в каждом, поэтому мы ничего не пишем.

— Мы разложили бананы, у нас общее число бананов 224: 4 банана в маленькой коробке, 2 средних пакета по 10 бананов в средней коробке, — всего 20, и 2 больших пакета из 100 бананов в большой коробке, — подытожил Бом. — Число единиц у нас 4, число десятков 2, число сотен 2. Записываем: 4 стоит справа, левее стоит число десятков 2, еще левее число сотен 2. Теперь это число 224 будем делить на 14.

— Давайте теперь запишем деление 224 на 14 в столбик, — предложил Коля. — Делимое у нас 224, делитель 14. Смотрим: первая цифра слева 2 (число сотен) на 14 не делится, значит надо к ней справа приписать следующую за “2” цифру 2. Читаем число, которое получилось — 22. Число 22 уже делится на 14. Число 14 помещается в числе 22 по одному (1) разу, вот это число “1” и записываем в ответ для частного первым, потом надо из 22 вычесть 14 х 1:

22

—

14

____

8

Мы при делении 22 на 14 находим неполное частное 1 и остаток 8. Неполное частное записываем в частное результата, остаток пишем как при обычном вычитании чисел в столбик.

Теперь смотрим, есть ли еще цифры справа, в делимом 224. Да такая цифра есть, после 22 стоит цифра 4, мы её записываем справа от остатка 8. Эта четверка будет стоять на том же месте в строке, где стоит 4 в числе 224, но только ниже возле “8”. У нас внизу получается число “84”. Смотрим, делится ли оно на делитель “14”. Делится. В результате деления 84 на 14 получаем “6”, его записываем справа от “1” в частном. А внизу после того, как умножим 14 х 6 = 84 мы пишем опять обыкновенное вычитание в столбик:

84

—

84

___

0

Ура! Еще и остаток в конце равен 0. В числе 224 нет справа больше цифр, сносить на более нижние строки нечего. Значит, мы закончили деление. Частное — 16.

— Смотрите, получилось такое же число, как и количество бананов на каждом подносе, — обрадовалась Оля.

 — Проверка, что деление выполнено правильно, делается также как и для обычного деления: частное умножается на делитель, должно получиться делимое, — добавил Вася.

— Сейчас каждый из нас еще по одному примеру деления в столбик запишет, — продолжил Коля.

Коля 1000 : 25 = 40. Оля 1025 : 25 = 41. Вася 10025 : 25 =401.

— Жалко, что у нас нет бананов в остатке, я бы его съел, огорчился Бим.

— Делаем вывод, — продолжил Коля. — Все деление в столбик состоит из неполных делений чисел, пока в числе не окончатся все разряды, но если после того, как мы снесли последний разряд (число единиц) остался остаток, то все деление у нас неполное, и результат будет состоять из частного-результата и остатка-результата. Если в конце деления остаток 0, то так и говорят, что делимое делится на делитель без остатка.

Можно и так определить деление в столбик, — подытожил Бом:

Деление в столбик — это ряд неполных делений чисел (неполных делимых), составленных из остатков от деления и цифр делимого, на делитель. В результате деления в столбик должны быть использованы все цифры делимого.

Вначале в делимом выделяем первое неполное делимое из цифр делимого, начиная с левой цифры делимого, пока неполное делимое не будет делиться не делитель. Частное от неполного деления записываем первой цифрой в частном.

К остатку от неполного деления сносим следующие цифры из делимого, пока новое неполное делимое не будет делится на делитель. При этом, если после снесенной цифры, неполное делимое не делится на делитель, то в частное ставится справа 0. После деления нового неполного делителя на делимое неполное частное записывается справа от уже найденных цифр частного, а к полученному неполному остатку опять сносятся последующие цифры из делимого. Действия повторяются, пока не будут снесены все цифры делимого.

Деление в столбик с остатком: объяснение (3 класс)

Неполное частное при делении в столбик — это частное от деления в столбик, при котором имеется остаток после использования последнего разряда в операции деления в столбик.

— Получается, — подхватил Вася, — что при делении в столбик тоже может быть неполное деление, когда есть остаток в самом конце деления. И результат тогда пишут, как при обычном неполном делении: частное-результат или как обычно говорят “частное”, а в конце в скобочке пишут остаток.

Пример:

— Спасибо ребята, что помогли нам сегодня разобраться с делением в столбик, — поблагодарил зрителей Бом. — Вот вам 315 конфет. Поделите в столбик 315 на 15 и разложите по 15 конфет в каждый кулечек. Три пакетика заберите себе, а остальные я раздам другим ребятам. Сколько всего получится пакетиков и сколько пакетиков мне останется раздать ребятам пусть посчитают ребята, которые научились делению в столбик.

— Подсказка. В ответе должен быть 21 кулечек, три из которых получили Коля, Оля и Вася, — добавил Бим. — Теперь напишите, пожалуйста, вопросы и ответы для ребят с Бомом, а я побежал одеваться, мой выход в самом начале представления, а выход Бома с обезьянками будет позже.

Бим убежал.

— До начала представления еще есть время, — посмотрел на часы Бом. — Ребята, давайте запишем вопросы:

• Что такое деление?
• Деление в столбик — это …
• Деление в столбик с остатком — это …

И как обычно, ответы:

• Деление двух чисел — это действие обратное к умножению, используется для нахождения одного из неизвестных (первого или второго множителя) в операции умножения. Делить на ноль — нельзя.

• Деление в столбик — это удобный способ представления обыкновенного деления. Деление — это действие обратное к умножению.

• Неполное частное при делении в столбик — это частное от деления в столбик, при котором имеется остаток после использования последнего разряда в операции деления в столбик

— Спасибо, ребята! — обрадовался Бом. — Вы очень помогли нам с Бимом. А теперь бегите на представление.

Заключение

Сегодня мы постарались в игровой форме рассмотреть тему: «Деление в столбик — объяснение (3 класс)». Надеемся, что ребята выучат деление в столбик и оно им еще не один раз пригодится.

Оригинальная идея подачи материала принадлежит Стуловой Лилии Валериевне (преподаватель математики от 5 лет и старше).

Не забудьте оценить наши старания! Комментарии приветствуются. По желанию подписывайтесь на нас в Яндекс.Дзен и в других социальных сетях!!!)))

Умножение в столбик

Зачем уметь умножать в столбик?

Умножение столбиком – это метод умножения чисел, в котором числа разбиваются на столбцы, выполняются отдельные умножения каждого столбца, а затем складываются результаты.

Обычно этот метод преподается школьникам в качестве метода простого умножения больших чисел и часто используется в образовательных целях для укрепления основ арифметики.

Однако эта техника также используется людьми, которые предпочитают выполнять вычисления вручную, например, бухгалтерами, финансистами и прочими специалистами, чья деятельность связана с вычислениями.

Кроме того, умножение столбиком может быть полезным инструментом для проверки точности вычислений, выполненных другим человеком или даже компьютером или калькулятором.

Метод прост в понимании и выполнении, что делает его полезным для людей всех возрастов и уровней образования.

Основные понятия

Как известно, в любой стране мира принято оперировать для записи чисел цифрами от 0 до 9. Именно с помощью них можно создать любое натуральное число.

Названия чисел зависят от количества знаков. Так, числа бывают:

• Однозначными – состоящими из одного знака.
• Двузначными – состоящими из двух знаков.
• Трехзначными – состоящими из трех знаков.

Также существует понятие разряда. Разрядом называют позицию, на которой стоит цифра при записи. Обычно разряд отсчитывается с конца.

Разряды есть двух видов:

• Разряд единиц – то, чем заканчивается какое бы то ни было число.
• Разряд десятков – то, что расположено перед разрядом единиц.
• Разряд сотен – то, что расположено перед разрядом десятков.

Важно запомнить, что, если разряд отсутствует, на его место можно ставить ноль. К примеру, в числе 523 содержится 0 тысяч, 5 сотен, 2 десятка и 3 единицы.

Что же касается непосредственно умножения, то оно обозначает арифметическую операцию, в которой принимают участие два аргумента, называемых множителями. В результате их умножения мы получаем произведение. И перед тем, как говорить об умножении в столбик, необходимо познакомиться со свойствами умножения.

Свойства умножения

Самое главное, что нужно запомнить, следующее:

• Если переставить множители местами, произведение не изменится, т.е. a × b = b × a.
• Если умножаются три и более множителей, результат их произведения останется неизменным, если любую группу заменить произведением, т. е. a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c).
• При умножении в столбик с нулями в результате всегда будет получаться ноль, т.е. а × 0 = 0 (а – это любое натуральное число).

При этом в процессе любых вычислений самое главное – это знать таблицу умножения, благодаря чему подсчеты будут быстрыми и упорядоченными. Далее остается только применять алгоритм.

Алгоритм умножения в столбик

Освоить умножение в столбик очень просто – для этого нужно лишь запомнить несколько шагов, а именно:

1. Запишите пример в строку, а затем найдите и подчеркните наименьшее из двух чисел. После записи в столбик это число должно стоять снизу.
2. Запишите произведение в виде столбика. Первым записывайте больший множитель, а вторым – меньший (тот, который вы подчеркнули на предыдущем шаге). Слева от множителей поставьте знак умножения «х» и проведите черту, по которой будете записывать решение. Обращайте особое внимание на разряды: единицы должны стоять под единицами, десятки – под десятками и т.
   д.
3. По порядку выполните нужные действия: каждая цифра первого множителя должна быть умножена на крайнюю цифру второго. Расчеты производите справа налево, т.е. сначала единицы, потом десятки, потом сотни. В случае, если результат получается двузначным, запишите под чертой только его последнюю цифру, а остальное перенесите в следующий разряд, складывая его с тем, что получите при следующем умножении.
4. Когда умножите на единицу второй множитель, выполните те же самые операции с остальными цифрами. Запишите результаты под чертой, сдвигаясь на одну позицию влево.
5. Сложите то, что получилось, и запишите ответ.

Чтобы алгоритм был более понятен, посмотрите на следующий пример:

Теперь можно переходить к разным вариантам умножения.

Умножение в столбик на однозначное число

Чтобы вычислить, к примеру, значение выражения 242 х 2, запишите множители в столбик. Сначала запишите первый множитель:

Далее запишите второй множитель под единицами первого:

Теперь слева поставьте знак умножения «х» и подведите черту внизу:

Начинайте умножать с единиц. При этом можете рассуждать так: 3 единицы умножаем на 2 и получаем 6 единиц. Пишем под единицами 6. 4 десятка умножаем на 2 и получаем 8 десятков. Пишем под десятками 8. 2 сотни умножаем на 2 и получаем 4 сотни. Получаем ответ 486:

Таким образом, общая схема умножения в столбик на однозначное число будет такова:

1. Записываете первый множитель.
2. Записываете второй множитель под единицами первого.
3. Пишете знак «х» и проводите внизу черту.
4. Умножаете единицы.
5. Умножаете десятки.
6. Умножаете сотни.
7. Умножаете по порядку следующие разряды.
8. Получаете ответ.

Иногда при умножении столбиком встречается переход через разряд. Давайте, к примеру, вычислим произведение чисел 3912 и 6.

Здесь пример решается следующим образом:

• Пишете первый множитель 3912, а под его единицами пишете второй множитель 6.
• Слева ставите знак «х» и проводите внизу черту.
• Умножаете 2 единицы на 6 и получаете 12 единиц. В этом числе есть 1 десяток и 2 единицы.
• Пишете 2 под единицами и запоминаете 1 десяток, который прибавите к десяткам, которые получите после их умножения. Десяток можно забыть, поэтому напишите 1 над десятками второго множителя.
• Умножаете 1 десяток на 6 и получаете 6 десятков. Прибавляете к ним еще 1 десяток, который запомнили, и получаете 7 десятков. Под десятками записываете 7.
• Умножаете 9 сотен на 6 и получаете 54 сотни, которые можно представить, как 5 единиц тысяч и 4 сотни.
• Пишете 4 под сотнями и запоминаете 5 единиц тысяч, чтобы прибавить их к тысячам, полученным после их умножения. Их можно забыть, поэтому напишите 5 над единицами тысяч первого множителя.
• Умножаете 3 тысячи на 6 и получаете 18 тысяч, к которым прибавляете 5 единиц тысяч, которые запомнили, и получаете 23 тысячи.
• Записываете все под строкой и получаете ответ 23 472.

Если рассуждать кратко, то алгоритм будет таков:

1. 2 умножить на 6 будет 12. 2 пишете и 1 запоминаете.
2. 1 умножить на 6 будет 6. Прибавляете 1 и получаете 7.
3. 9 умножить на 6 будет 54. Пишете 4 и запоминаете 5.
4. 3 умножить на 6 будет 18. Прибавляете 5 и получаете 23.
5. Получаете ответ 23 472.

Чтобы было понятнее, что к чему, посмотрите на пример:

В случае, если на однозначное число умножаются числа, которые оканчиваются на один или несколько нулей, запись будет происходить иначе: запищите второй множитель под первой цифрой справа, которая отличается от нуля.

Допустим, вы умножаете 365400 на 3:

Теперь произведите умножение точно так же, как делали это раньше:

И в конце допишите к результату нули в количестве, оставшемся в первом множителе справа:

Теперь нужно разобраться, как умножать в столбик на двузначное число.

Умножение в столбик на двузначное число

Представим, что нам нужно умножить 4235 на 86. Для этого сначала записываем первый множитель:

Теперь записываем второй множитель так, чтобы единицы второго множителя оказались под единицами первого, а десятки второго – под десятками первого:

Далее ставим знак «х» и подводим черту:

Начинаем умножать. Сначала умножаем 4235 на 6 и получаем 25410:

Затем умножаем 4235 на 8 десятков и получаем 33880. Это число записываем под первым и ставим вместо знака «х» знак «+»:

После сложения получаем 364210:

Таким образом, получаем простой алгоритм умножения столбиком на двузначное число:

1. Записываете первый множитель.
2. Записываете второй множитель, чтобы его единицы оказались под единицами первого, а десятки – под десятками.
3. Ставите знак «х» и подводите внизу черту.
4. Умножаете первый множитель на единицы второго. Результат записываете под чертой.
5. Умножаете первый множитель на десятки второго. Результат записываете под предыдущим результатом. Слева ставите знак «+».
6. Складываете полученные числа.
7. Получаете ответ.

В случае, когда второй множитель оканчивается на ноль, запись производится иначе: второй множитель нужно записать так, чтобы цифра, отличная от нуля, оказалась под единицами второго множителя.

К примеру, вам надо умножить 937 на 50. Сначала записываете так:

Далее 937 умножаете на 5:

После этого к полученному результату дописываете столько нулей, сколько их оказалось справа во втором множителе:

Когда оба множителя заканчиваются нулями, запись снова делается иначе: два множителя нужно записать, чтобы крайние справа цифры, отличные от нуля, оказались друг под другом.

Допустим, вам требуется умножить 72400 на 30. Сначала записываете так:

Выполните умножение, не беря нули во внимание:

После этого запишите в ответ столько нулей, сколько их оказалось справа в обоих множителях:

И, наконец, осталось узнать, как умножать столбиком на трехзначное число.

Умножение в столбик на трехзначное число

Предположим, что вам нужно перемножить 1854 на 237. На первом шаге запищите произведение по уже знакомым вам правилам:

Теперь умножьте 1854 на 7, и получите 12978. Запишите результат под чертой:

Далее умножьте 1854 на 3 десятка, и получите 5562. Запишите результат под десятками и поставьте слева знак «+»:

Далее умножьте 1854 на 2 сотни, и получите 3708. Запишите результат под сотнями и поставьте слева знак «+»:

Теперь сложите все, что у вас получилось, чтобы получить итоговый ответ:

В итоге общий алгоритм умножения в столбик на трехзначное число будет таков:

1. Записываете первый множитель.
2. Записываете второй множитель так, чтобы его единицы, десятки и сотни оказались под единицами, десятками и сотнями первого соответственно.
3. Ставите слева знак «х» и подводите внизу черту.
4. Умножаете первый множитель на число единиц второго множителя.
5. Умножаете первый множитель на число десятков второго множителя.
6. Умножаете первый множитель на число сотен второго множителя.
7. Складываете все, что у вас получилось.
8. Получаете ответ.

Когда второй или оба множителя заканчиваются на нули, умножать следует точно так же, как мы умножали столбиком на двузначное число. Однако, что делать, если в разряде десятков второго множителя стоит ноль?

Представим, что нам нужно перемножить 5634 и 206. Чтобы это сделать, сначала записываем цифры в столбик по тому же принципу, что и ранее:

Теперь умножаем первый множитель на единицы второго:

Учитывая, что отдельные десятки во втором множителе отсутствуют, умножаем первый множитель на сотни второго, а ответ записываем под сотнями:

Далее складываем полученные результаты и получаем:

Думаем, вы заметили, что умножать в столбик действительно очень просто. Нужно лишь немного попрактиковаться и порешать побольше примеров. Так вы отточите данный навык и впоследствии сможете решать подобные примеры очень быстро.

Вопросы и ответы

А также вот несколько ответов на часто задаваемые вопросы.

Почему умножение называют повторным прибавлением?

Умножение представляет собой вариацию повторяющегося прибавления числа. Именно поэтому его называют повторным или многократным прибавлением, что зависит от того, на сколько нужно умножить первое число.

Почему нельзя умножать на ноль?

Умножать на ноль можно, но его особенность при умножении такова, что, если в примере фигурирует ноль как самостоятельное число, ответ всегда будет равен нулю.

Какие еще есть арифметические операции?

org/Answer»>Кроме умножения есть еще несколько элементарных арифметических операций. Ими являются сложение, вычитание и деление.

Что такое множители?

Множителями называются умножаемые числа. А результат этого умножения называется произведением.

Таблица умножения и таблица Пифагора – это одно и то же?

Да, в обиходе приняты оба выражения: и таблица умножения, и таблица Пифагора. В виду имеется одно и то же.

T \]

Чтобы выполнить сложение матрицы с , две матрицы должны иметь одинаковые размеры. Это означает, что они должны иметь одинаковое количество строк и столбцов. В этом случае просто добавьте каждый отдельный компонент, как показано ниже.

Например

\[A + B = \begin{pmatrix} 1 & -5 & 4 \\ 2 & 5 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 8 & -3 & -4 \\ 4 & -2 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 8 & -5 — 3 & 4 — 4 \\ 2 + 4 & 5 -2 & 3 + 9Т \]

Матричное скалярное умножение Раздел

 

Чтобы умножить матрицу на скаляр, также известное как скалярное умножение , умножьте каждый элемент матрицы на скаляр.

Например…

\[ 6*A = 6 * \begin{pmatrix} 1 & -5 & 4\\ 2 & 5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 * 1 & 6 * -5 & 6 * 4\\ 6 * 2 и 6 *5 и 6 * 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & -30 & 24 \\ 12 & 30 & 18 \end{pmatrix}\]

Чтобы умножить два вектора одинаковой длины, нужно взять скалярное произведение , также называемое внутренним произведением . Это делается путем умножения каждой записи в двух векторах вместе, а затем сложения всех продуктов.

Например, для векторов x и y скалярное произведение рассчитывается ниже

\[ x \cdot y = \begin{pmatrix} 1 & -5 & 4 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 4 & -2 & 5 \end{pmatrix} = 1*4 + (-5 )*(-2) + 4*5 = 4+10+20 = 34\]

Умножение матриц Раздел

 

Чтобы выполнить умножение матриц , первая матрица должна иметь такое же количество столбцов, сколько строк во второй матрице. Количество строк полученной матрицы равно количеству строк первой матрицы, а количество столбцов полученной матрицы равно количеству столбцов второй матрицы. Таким образом, матрицу 3 × 5 можно умножить на матрицу 5 × 7, получив матрицу 3 × 7, но нельзя умножить матрицу 2 × 8 на матрицу 4 × 2. Чтобы найти элементы в результирующей матрице, просто возьмите скалярное произведение соответствующей строки первой матрицы и соответствующего столбца второй матрицы.

Например,

\[ C*D = \begin{pmatrix} 3 & -9 & -8\\ 2 & 4 & 3 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 7 & -3\\ -2 & 3\\ 6 & 2 \end{pmatrix} \]

\[ C*D = \begin{pmatrix} 3*7 + (-9)*(-2) + (-8)*6 & 3* (-3) + (-9)*3 + (-8)*2 \\ 2*7 + 4*(-2) + 3*6 и 2*(-3) + 4*3 + 3*2 \ end{pmatrix}\]

\[ C*D = \begin{pmatrix} 21 + 18 — 48 & — 9 — 27 — 16 \\14 — 8 + 18 & — 6 + 12 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 & — 52\\ 24 & 12 \end{pmatrix} \]

Умножение матриц имеет некоторые из тех же свойств, что и «обычное» умножение, например

\[ A(BC) = (AB)C\]

\[A(B + C) = AB + AC\]

\[(A + B)C = AC + BC\]

Однако умножение матриц не является коммуникативным. T\).

Умножение матриц

Марко Табога, доктор философии

Эта лекция знакомит с умножением матриц, одним из основных алгебраических операции, которые можно выполнять на матрицы.

СОДЕРЖАНИЕ

1. DOT Product

2. MATRIX Product

3. Мотивация

4. Свойства Matrix Multiplication

   9999

   .

   Other properties

   1. Transpose of a product

5. Solved exercises

   1. Exercise 1

   2. Exercise 2

   3. Exercise 3

Dot product

Прежде чем определить умножение матриц, нам нужно ввести понятие точечного произведение двух векторов.

Определение Позволять быть вектор строки и а вектор-столбец. Обозначим их записи через и по , соответственно. Затем их скалярное произведение это

Обратите внимание, что в приведенном выше определении порядок произведения имеет значение, т. е. не то же самое, что , потому что первый вектор () должен быть вектором-строкой, а второй () должен быть вектор-столбцом. Кроме того, скалярный продукт определен, только если и иметь одинаковое количество записей ().

Пример Позволять быть вектор определен мимо а вектор определен по их скалярное произведение

Произведение матрицы

Теперь мы готовы определить матричное произведение.

Определение Позволять быть матрица и а матрица. Затем их продукт это матрица, чья -й запись равна скалярному произведению между -й ряд и -й столбец , для и .

Другими словами, -й запись

Обратите внимание, что порядок продукта имеет значение, т. не то же самое, что . Кроме того, количество столбцов должно быть равно количеству строк (в этом случае говорят, что две матрицы созвучны для умножения ).

Следующая диаграмма суммирует измерения, связанные с матрицей умножение:

Пример Определите матрица и в матрица Они созвучны для умножения потому что количество столбцов равно количеству строк . Размер матрицы является . Продукт это здесь, например, -й запись был получен из скалярного произведения второй строки с первой колонкой :

Мотивация

Почему умножение матриц определяется таким образом? Есть много возможных ответов на этот вопрос, но самый простой из них связан с необходимостью получение простого матричного представления для систем линейных уравнений. следующий пример показывает, как это сделать.

Пример Рассмотрим следующую систему двух уравнений в двух неизвестные: это можно представить в матричной форме как где матрица коэффициентов это вектор неизвестных остров вектор констант это ты можно легко проверить, что два способа записи системы уравнений эквивалентно, выполняя матрицу умножение

Другая причина, по которой умножение матриц определяется так, как показано выше. заключается в том, что он позволяет нам легко иметь дело с системами ввода-вывода, в которых выходы могут быть получены из фиксированных комбинаций входов.

Пример Фабрика может производить два товара, обозначаемых и , используя различные комбинации двух входов, и . В частности, единицы и единица необходимы для производства единицы , и единица и единицы необходимы для производства единицы . Эта информация может быть обобщена вводом-выводом матрицагде две строки соответствуют двум выходам, а два столбца соответствуют два входа. Каждая единица расходы долларов, а каждая единица расходы доллар. Эту информацию можно обобщить вектором ценыВ Чтобы найти затраты на производство двух выпусков, достаточно выполнить следующая матрица умножение Итак, оба выпуска имеют себестоимость производства долларов.

Свойства умножения матриц

Как мы уже говорили, в отличие от умножения действительных чисел, матрица умножение не обладает свойством коммутативности, т. е. не то же самое, что . Однако некоторые свойства, которыми обладает умножение действительных чисел, также пользуется умножением матриц.

Предложение (распределительное свойство) Умножение матриц является дистрибутивным по отношению к сложению матриц, т. е. для любые матрицы , и таким образом, что приведенные выше умножения и сложения имеют осмысленное определение.

Доказательство

Начнем с продуктПусть и быть матрицы и ан матрица. Обозначим общий -й элемент матрицы к , и общий -й элемент продукта между и к . По определениям сложения матриц и умножение матриц, мы имеем это где: по шагам и мы использовали определение умножения матриц; в ногу мы использовали определение сложения матриц. Это справедливо для любого -й элемент матрицы. Таким образом, у нас есть что

Почти идентичным аргументом можно доказать что

Предложение (ассоциативное свойство) Умножение матриц ассоциативно, т. для любые матрицы , и таким образом, что приведенные выше умножения содержательно определены.

Доказательство

Предположим имеет измерение , имеет измерение , и имеет измерение . Ассоциативность сохраняется, потому что общий -й элемент матрицы это здесь мы использовали определение продукта между и (шаг ), между и (шаг ), между и (шаг ), между и (шаг ).

Прочее имущество

Другие свойства матричных произведений перечислены здесь.

Транспонирование продукта

Предложение Позволять быть матрица и а матрица. Позволять и быть их транспонированием. Тогда

Доказательство

-й запись является скалярным произведением -й ряд и -й столбец :К определение транспонирования матрицы, последняя равна -й запись : -й вход является скалярным произведением -й ряд и -й столбец : С в -й ряд равно -й столбец , и -й столбец равно -й ряд , мы естьТаким образом, для любой и . Следовательно,

Решенные упражнения

Ниже вы можете найти несколько упражнений с поясненными решениями.

Упражнение 1

Определите матрица и а матрицаВычислить продукт .

Решение

Размеры, связанные с этим умножение сводится к следующему диаграмма: Таким образом, это матрица такая, что для каждого и , в -й элемент равно скалярному произведению между -й ряд и -й ряд :

Упражнение 2

Учитывая матрицы и определено выше, вычислить произведение .

Решение

Матрицы и не созвучны для умножения потому что количество столбцов не равно количеству строк . Следовательно, умножение не может быть выполнено.

Упражнение 3

Определите столбец вектори а ряд векторвычислить продукт .

Решение

Размеры, связанные с этим умножение сводится к следующему диаграмма: Таким образом, это матрица.