В чем состоит правило умножения: Правило умножения (комбинаторика) | это… Что такое Правило умножения (комбинаторика)?

Два важнейших правила комбинаторики



Эти правила записаны в общем виде в Приложении Формулы Комбинаторики (пункт 4) и весьма напоминают алгебру событий:

1) Правило сложения комбинаций. Знак «плюс» следует понимать и читать как союз ИЛИ. Вспоминаем демонстрационную задачу с яблоком, грушей и бананом:

 способами можно выбрать хотя бы один фрукт.

То есть, можно взять 1 фрукт (любой из трёх) ИЛИ какое-нибудь сочетание двух фруктов (любое) ИЛИ все три фрукта. Заметьте, что сложение комбинаций предполагает безразличие выбора (в данном случае без разницы – будет ли выбран 1, 2 или 3 фрукта).

Теперь рассмотрим более содержательный пример:

Задача 7
Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек. Сколькими способами можно выбрать 2 человек одного пола?

Решение: в данном случае подсчёт количества сочетаний , не годится – по той причине, множество комбинаций из двух человек включает в себя и разнополые пары.

Условие «выбрать 2 человек одного пола» подразумевает, что нужно выбрать двух юношей или двух девушек, и уже сама словесная формулировка указывает на верный путь решения:

 способами можно выбрать 2 юношей;
 способами можно выбрать 2 девушек.

Таким образом, двух человек одного пола (без разницы – юношей или девушек) можно выбрать:  способами.

Ответ: 123

2) Правило умножения комбинаций. Знак «умножить» следует понимать и читать как союз И.

Рассмотрим ту же студенческую группу, которая пошла на танцы. Сколькими способами можно составить пару из юноши и девушки?

 способами можно выбрать 1 юношу;
 способами можно выбрать 1 девушку.

Таким образом, одного юношу и одну девушку можно выбрать:
 способами.

Когда из каждого множества выбирается по одному объекту, то справедлив следующий принцип подсчёта комбинаций: «каждый объект из одного множества может составить пару с каждым объектом другого множества».

То есть, Олег может пригласить на танец любую из 13 девушек, Евгений – тоже любую из 13 девушек, и аналогичный выбор есть у остальных молодых людей. Итого:

 возможных пар.

Следует отметить, что в данном примере не имеет значения упорядоченность пары, однако если принять во внимание инициативу, то количество комбинаций нужно удвоить, поскольку каждая из 13 девушек тоже может пригласить на танец

каждого из 10 юношей. Всё зависит от условия той или иной задачи!

Этот же принцип справедлив и для более сложных комбинаций, например: сколькими способами можно выбрать 2 юношей и 2 девушек для участия в сценке КВН?

Союз И недвусмысленно намекает, что комбинации следует перемножить:

 возможных групп артистов.

Иными словами, каждая пара юношей (45 уникальных пар) может выступить с каждой парой девушек (78 уникальных пар). А если рассмотреть распределение ролей между участниками, то комбинаций будет ещё больше. …Очень хочется, но всё-таки воздержусь от продолжения, чтобы не привить вам отвращение к студенческой жизни =).

Правило умножения комбинаций распространяется и на бОльшее количество множителей:

Задача 8
Сколько существует трёхзначных чисел, которые делятся на 5?

Решение: для наглядности обозначим данное число тремя звёздочками: ***

Комбинации будем считать по разрядам – слева направо:

В разряд тысяч можно записать любую из  цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9).  Ноль не годится, так как в этом случае число перестаёт быть трёхзначным.

А вот в разряд десятков («посерединке») можно выбрать любую из 10 цифр:

По условию, число должно делиться на 5. Число делится на 5, если оно заканчивается на 5 либо на 0. Таким образом, в младшем разряде нас устраивают 2 цифры.

Итого, существует:
 трёхзначных чисел, которые делятся на 5.

При этом произведение  расшифровывается так: «9 способами можно выбрать цифру в разряд сотен и 10 способами выбрать цифру в разряд десятков и 2 способами – в разряд единиц»

Или ещё проще: «каждая из 9 цифр в разряде сотен комбинируется с каждой из 10 цифр в разряде десятков и с каждой из двух цифр в разряде единиц».

Ответ: 180

…да, чуть не забыл об обещанном комментарии к Задаче 5, в которой Боре, Диме и Володе можно сдать по одной карте  способами. Умножение здесь имеет тот же смысл:  способами можно извлечь 3 карты из колоды И в каждой выборке переставить их  способами.

А теперь задача для самостоятельного решения… сейчас придумаю что-нибудь поинтереснее, …пусть будет про ту же русскую версию Блэкджека:

Задача 9
Сколько существует выигрышных комбинаций из 2 карт при игре в «очко»?

Справка: выигрывает комбинация 10 + ТУЗ (11 очков) = 21 очко, и давайте будем считать выигрышной комбинацию из 2 тузов (порядок карт в любой паре не имеет значения).

Кстати, не надо считать пример примитивным. Блэкджек – это чуть ли не единственная игра, для которой существует математически обоснованный алгоритм, позволяющий систематически выигрывать у казино, и желающие могут найти массу информации об оптимальной стратегии и тактике. Правда, такие мастера довольно быстро попадают в чёрный список всех заведений 🙂

1.3.6. Перестановки с повторениями

1.3.4. Размещения

| Оглавление |



Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Умножение целых чисел, правила, примеры, как умножать не целые числа, произведение двух чисел

В этом материале мы покажем, как правильно выполнять умножение целых чисел. Начнем, как всегда, с основных понятий и обозначений и выясним, какой смысл вкладывается в умножение двух целых чисел. Затем сформулируем правила, по которым перемножают целые положительные и целые отрицательные числа, а также числа, имеющие разные знаки. Как всегда, нашу мысль будем пояснять наглядными примерами решений задач. Далее рассмотрим те случаи, когда один из множителей нулевой или равен единице, посмотрим, как можно проверить верность результата, полученного после умножения, а в конце объясним, как правильно перемножать 3, 4 и большее количество целых чисел.

Основные определения при умножении целых чисел

При умножении целых чисел используются те же термины и знаки, о которых мы говорили ранее в статье об умножении натуральных чисел. У нас есть два множителя, которые являются целыми числами, результат, называемый произведением, и знак умножения в виде точки, звездочки или знака «x» (в целях единообразия в дальнейшем будем использовать точку).

Если обозначить множители и произведение буквами a, b и c, то действие умножения можем записать в виде равенства a·b=c. Само числовое выражение a·b тоже называется произведением. Произведение двух целых чисел также является целым числом.

В чем состоит смысл умножения целых чисел?

До этого мы уже объясняли смысл умножения на примере натуральных чисел. Произведение натуральных чисел a и b представляет собой сумму b слагаемых, каждое из которых равно a.

Целые положительные числа – это натуральные числа, поэтому смысл действия умножения для них точно такой же. В буквенном виде его также можно представить как

(значения a и b – целые положительные числа).

В принципе, этот смысл распространяется на все произведения, где одно слагаемое целое и положительное. Второе при этом также должно быть целым, однако оно может быть отрицательным или даже равным нулю. Так, схема умножения числа -3 на 5 будет выглядеть как (−3)·5=(−3)+(−3)+(−3)+(−3)+(−3).

Если вторым множителем является единица, то результат умножения – это сумма одного слагаемого, которое равно другому множителю. Это можно записать как a·1=a. Результат умножения целого числа на единицу есть само это число.

А как быть в случае, если одно из множителей нулевое? Получается, что в ответе будет сумма из 0 слагаемых. Очевидно, что это будет 0. Запишем, что a·0=0 для любого целого a. Умножение целого числа на ноль дает в результате ноль.

В случае с отрицательными числами общий смысл действия умножения сформулировать достаточно сложно. Примем это действие как данность и подчеркнем, что правила умножения в таком случае должны сохранять справедливыми свойства умножения для целых положительных чисел. В частности, такое числовое выражение должно обладать переместительным и сочетательным свойствами.

Основные правила, применяемые при умножении целых чисел

Можно выполнить умножение исходя из того, что оно по сути представляет собой сложение одинаковых слагаемых. Но, как мы уже отмечали, это долгий и трудный процесс, если таких слагаемых у нас много. А если одним из множителей является отрицательное число, то воспользоваться этим способом мы не можем. Поэтому нам надо вывести особые правила для умножения целых чисел. Сформулируем и запишем их.

Как умножать одно целое положительное число на другое

Целые положительные числа относятся к натуральным, поэтому правила умножения натуральных чисел распространяются и на них. В итоге мы, разумеется, получим целый положительный результат, т.е. натуральное число. Разберем конкретные примеры.

Пример 1

Подсчитайте, сколько будет 9 умножить на 7.

Решение

Обратимся к таблице умножения и возьмем из нее готовый результат.

Получим: 9·7=63.

Ответ: 63.

Пример 2

Сколько будет 127 умножить на 5?

Решение

Представим первый из множителей как сумму разрядных слагаемых, т. е. 100+20+7.

Теперь последовательно умножим слагаемые на данное число: 127·5=(100+20+7)·5=100·5+20·5+7·5.

Заканчиваем вычисление: 100·5+20·5+7·5=500+100+35=600+35=635.

Ответ: 635.

Чтобы перемножать многозначные числа, удобно пользоваться методом подсчета в столбик.

Пример 3

Условие: умножьте 712 на 92.

Решение: запишем множители в столбик и вычислим результат.

Ответ: 65 504.

Как правильно перемножить целые числа, имеющие разные знаки

Для того чтобы вывести правило для такого случая, приведем пример.

Итак, нам надо вычислить произведение числа -5 на 3. Вспомним смысл умножения и запишем: (−5)·3=(−5)+(−5)+(−5)=−15. Если учесть переместительное свойство, то должно быть верным и (−5)·3=3·(−5). Очевидно, что модуль числа, полученного в результате, соответствует произведению данных множителей. Таким образом, произведение двух чисел с разными знаками есть число отрицательное.

Определение 1

Чтобы умножить одно отрицательное число на одно положительное, надо перемножить между собой модули этих чисел и поставить перед результатом минус.

Разберем несколько примеров, подтверждающих это правило.

Пример 4

Умножьте 7 на -14.

Решение

Запишем отдельно модули исходных множителей. Получим 7 и 14. Подсчитаем, чему будет равно их произведение: 7·14=98. Все, что нам нужно сделать дальше, – это поставить знак минуса перед полученным числом.

Ответ: 7·(−14)=−98.

Пример 5

Подсчитайте, сколько будет (−36)·29.

Решение

Согласно правилу умножения чисел с разными знаками, нам нужно начать с умножения модулей. Считаем: 36·29=1 044. Здесь удобно будет воспользоваться методом умножения в столбик. Нам осталось поставить минус перед результатом и записать готовый ответ.

Ответ: (−36)·29=−1 044.

В последней части параграфа мы попробуем доказать, что равенство a·(−b)=−(a·b) справедливо (a и b здесь – любые целые числа). Правило умножения целых чисел с разными знаками, которое мы записали выше, является частным случаем этого равенства.

Задача сводится к тому, что нам надо доказать, что значениями выражений a·(−b) и a·b будут противоположные числа. Для этого вычислим сумму a·(−b)+a·b. Она будет равна 0. Учитывая распределительное свойство умножения целых чисел относительно сложения,  справедливым будет a·(−b)+a·b=a·((−b)+b). Сумма (−b)+b –это ноль, потому что это сумма противоположных чисел, в итоге получается, что a·((−b)+b)=a·0. Итоговое произведение равно 0, согласно свойству умножения целого числа на 0. Получается, что a·(−b)+a·b=0, значит, a·(−b) и a·b являются противоположными числами. Отсюда вытекает справедливость равенства a·(−b)=−(a·b). Таким же образом можно показать, что (−a)·b=−(a·b).

Как перемножить целые отрицательные числа

Для получения этого правила нам понадобится равенство (−a)·(−b)=a·b. Ниже мы приведем его доказательство.

Перед этим мы писали, почему a·(−b)=−(a·b) и (−a)·b=−(a·b), следовательно, мы можем записать цепочку равенств (−a)·(−b)=−(a·(−b))=−(−(a·b)).

У  нас получилось выражение −(−(a·b)), которое идентично a·b в силу определения противоположных чисел. Таким образом, (−a)·(−b)=a·b.

Теперь мы можем перейти к формулировке правила умножения целых отрицательных чисел.

Определение 2

Чтобы найти произведение целых отрицательных чисел, нам надо вычислить произведение их модулей.

Из правила ясно, что результат умножения двух отрицательных свойств есть число положительное.

Посмотрим, как применить это правило на практике.

Пример 6

Умножьте (−34)·(−2).

Решение

Воспользуемся правилом и просто перемножим между собой модули: -34=34 и -2=2.

Весь ход решения можно записать как (−34)·(−2)=34·2=68.

Ответ: 68.

Пример 7

Умножьте −1 041 на -538.

Решение

Вычисляем модули и перемножаем их столбиком.

 

Ответ: (−1 041)·(−538)=560 058.  

Как умножить целое число на единицу

Мы уже упоминали, что если мы умножим на единицу любое целое число, то результат будет равен этому же числу, то есть a·1=a. Так как числовое выражение с умножением обладает переместительным свойством, то a·1=1·a тоже должно быть верным. Получается, что 1·a=a. Выведем основное правило и запомним его:

Определение 3

Если умножить два целых числа, одно из которых равно 1, то результат будет равен второму числу.

К примеру, 58·1=58, 1·0=0 и 1·(−602)=−602. Как видно, от значения второго множителя результат не зависит: произведение −53 и 1 – это −53, а результат умножения 1 и отрицательного целого числа −989 981 – это  −989 981.

Как умножить целое число на нуль

Умножение любого целого числа на нуль дает нам в итоге нулевой результат, т.е. a·0=0. С учетом переместительного свойства умножения мы получим, что 0·a=0 тоже будет верно. Запомним:

Определение 4

Если умножить два целых числа, одно из которых равно 0, то результат тоже будет равен 0. Умножение нуля на нуль в итоге также дает нуль.

Так, произведение 678 на 0 – это 0; произведение -45 на нуль – тоже нуль; (−90 7789)·0=0.

Обратное утверждение тоже будет верным: если произведение двух чисел равно нулю, то один или оба множителя тоже равны нулю.

Как проверить результат умножения целых чисел

Для проверки точности результата умножения нам потребуется вспомнить действие деления. Нужно разделить итоговый результат на один из множителей. Если в итоге мы получим второй множитель, то мы все посчитали правильно. Если же результат будет отличен от значения другого множителя, значит, расчет ошибочен и его нужно переделать.

Посмотрим на примерах, как правильно проверить результат умножения целых чисел.

Пример 8

После умножения 21 на -5 получилось -115. Проверьте, верен ли результат.

Решение

Для проверки нам надо разделить произведение на любой множитель. Возьмем -5. Делимое и делитель у нас отрицательные, значит, в итоге мы получим частное от деления их модулей: (−115):(−5)=115:5 (посмотрите статью о том, как делить целые отрицательные числа).

В итоге мы получим 23, хотя второй множитель в исходных данных равен 21. Значит, вычисления были ошибочными.

Ответ: результат деления неверен.

Пример 9

Умножьте -17 на -67 и проверьте точность результата.

Решение

Вспоминаем, как правильно умножать целые отрицательные числа. Считаем: (−17)·(−67)=17·67=1 139. Теперь переходим к проверке. Для этого делим столбиком результат на любой множитель, например, на -67.

Согласно правилам деления чисел с разными знаками, сначала мы проводим подсчеты с их модулями:

Теперь перед результатом мы должны поставить минус.

У нас получилось -17, что соответствует первоначальному условию. Значит, мы все сделали правильно.

Ответ: (−17)·(−67)=1 139. 

Как перемножить три целых числа и более

Зная, что числовое выражение с умножением имеет сочетательное свойство, мы можем точно подсчитать произведение 3,4, 5 и большего количества множителей. А благодаря остальным свойствам можно сказать, что результат произведения не будет определяться положением множителей в примере и способом расстановки скобок. Ранее мы уже приводили обоснования этих утверждений в случае с натуральными числами. Для примера с целыми множителями эти правила работают таким же образом.

Посмотрим на конкретный пример.

Пример 10

Найдите произведение 5-ти множителей: 5, −12, 1, −2 и 15.

Решение

Заменим соседние множители их произведением и запишем, что

 5·(−12)·1·(−2)·15=(−60)·1·(−2)·15=(−60)·(−2)·15=120·15=1 800

С расстановкой скобок можно записать так: (((5·(−12))·1)·(−2))·15. Это позволит нам делать вычисления быстрее и проще.

Можно было переставить множители и по-другому: 1·5·(−12)·(−2)·15, в таком случае скобки надо было расставить так: ((1·5)·(−12))·((−2)·15)=(5·(−12))·((−2)·15)=(−60)·(−30)=1 800.

Мы видим, что результат будет одинаков вне зависимости от метода расстановки скобок и последовательности вычислений.

Ответ: 1800. 

Если хоть один из множителей в примере был бы нулевым, то подсчет не имел бы смысла. Мы сразу могли бы сказать, что результат будет равен 0. Это не зависит от значения других множителей, они могли бы быть любыми. Обратное утверждение также будет справедливо: если произведение нескольких множителей равно 0, то один из этих множителей будет нулевым.

Правило умножения для расчета вероятностей

Правило умножения в вероятности позволяет вам вычислить вероятность нескольких событий, происходящих вместе, используя известные вероятности этих событий по отдельности. Есть две формы этого правила, специальные и общие правила умножения.

В этом посте вы узнаете, когда и как использовать как специальные, так и общие правила умножения. Кроме того, я буду использовать и объяснять стандартные обозначения вероятностей повсюду, помогая вам научиться их интерпретировать. Мы рассмотрим несколько примеров задач, чтобы вы могли увидеть их в действии. В конце есть даже проблема с бонусами!

Прежде чем мы перейдем к самим правилам, вам необходимо знать определения независимых и зависимых событий:

• Независимые события : Возникновение одного события не влияет на вероятность другого события. Например, при подбрасывании монеты выпадение «орла» не влияет на вероятность выпадения «орла» при следующем подбрасывании монеты.
• Зависимые события : Возникновение одного события влияет на вероятность другого события. Например, если вы вытягиваете короля из колоды карт и не заменяете его, это снижает вероятность вытягивания другого короля.

Используя правило умножения, вы можете вычислить вероятность того, что события A и B произойдут вместе, если вы знаете вероятность того, что событие A и событие B произойдут по отдельности.

Обозначение совместной вероятности появления событий A и B следующее: P(A ∩ B).

Когда события независимы, вы можете использовать определенное правило умножения. Когда у вас есть зависимые события, вы должны использовать общее правило умножения.

Связанный пост : Основы вероятности

Специфическое правило умножения

Используйте конкретное правило умножения для расчета общей вероятности независимых событий. Чтобы использовать это правило, умножьте вероятности независимых событий. Для независимых событий появление события A не влияет на вероятность события B. Это правило не действует для зависимых событий.

Используя обозначение вероятности, конкретное правило умножения следующее:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

Или, совместная вероятность появления А и В равна вероятности появления А, умноженной на вероятность появления В.

Примеры специального правила умножения

Например, чтобы вычислить вероятность выпадения орла при двух последовательных подбрасываниях монеты, умножьте вероятность выпадения орла при первом подбрасывании монеты (0,5) на вероятность выпадения орла при второй монете. флип (0,5).

0,5 X 0,5 = 0,25

Совместная вероятность двух последовательных орлов равна 0,25.

Представьте, что вам особенно нравится носить коричневые брюки с синей рубашкой. Однако утром вы сонный и наугад берете штаны и рубашку из шкафа. Брюки находятся на одной стороне шкафа, а рубашки — на другой. Это независимые события, потому что получение пары брюк не влияет на вероятность получения рубашки.

У тебя десять пар штанов и три коричневые. Следовательно, вероятность выпадения коричневой пары (событие TP) равна 0,3.

У вас есть 16 футболок и четыре синие. Следовательно, вероятность получить синюю рубашку (событие BS) равна 0,25.

Это независимые события, потому что выбор пары брюк не влияет на вероятность получения синей рубашки и наоборот.

Используя специальное правило умножения для этих независимых событий:

P(TP ∩ BS)= P(TP) * P(BS)

0,3 X 0,25 = 0,075

Или совместная вероятность случайного выбора пары коричневые штаны и синяя рубашка равняется 0,075, то есть вероятность светло-коричневых брюк, умноженная на вероятность синей рубашки.

Вероятность получения нужной вам комбинации мала! Вы можете выпить кофе, чтобы увеличить свои шансы!

Общее правило умножения

Используйте общее правило умножения для расчета совместных вероятностей независимых или зависимых событий. Когда у вас есть зависимые события, вы должны использовать общее правило умножения, поскольку оно позволяет учитывать, как возникновение события А влияет на вероятность события В.

Используя стандартные обозначения, общее правило умножения выглядит следующим образом:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A)

Или, совместная вероятность появления А и В равна вероятности появления А, умноженной на условную вероятность появления В при условии, что А произошло .

Неудивительно, что разница между общими и специальными правилами заключается в том, что вы можете использовать общее правило в более широком смысле. Оно работает как для независимых, так и для зависимых событий, тогда как конкретное правило действительно только для независимых событий.

Почему можно использовать общую форму как для независимых, так и для зависимых событий? В обозначениях сосредоточьтесь на P(B|A), которая представляет собой условную вероятность того, что событие B произойдет при условии, что произошло событие A.

В контексте независимых событий P(B|A) = P(B), поскольку событие A не влияет на вероятность события B. Это и есть определение независимых событий. Следовательно, это правило становится эквивалентным конкретному мультипликативному правилу для независимых событий.

Однако для зависимых событий P(B|A) ≠ P(B). Это просто еще один способ сказать, что событие А влияет на вероятность события Б (т. е. это зависимые события). Общее правило мультипликативности позволяет учитывать другое событие, как вы увидите в следующих двух примерах!

Связанный пост : Использование таблиц непредвиденных обстоятельств для расчета вероятностей

Примеры общего правила умножения

Классический пример зависимых событий — вытягивание карт из колоды карт без замены. Когда вы берете карты, это влияет на вероятность следующей карты, которую вы можете взять.

Предположим, вас интересует вероятность выпадения червы в двух последовательных розыгрышах. Изначально в колоде 13 червей из 52 карт (13/52 = 0,25). Если вы рисуете сердце (событие h2), это меняет вероятность того, что выпадет еще одно сердце. Зависимая вероятность вытянуть вторую черву (событие h3) теперь равна 12/51 = 0,235.

В форме записи:

P(h2 ∩ h3) = P(h2) * P(h3|h2)

вторая черва, учитывая, что первая карта была червой.

0,25 * 0,235 = 0,059

Зависимые события: пример светло-коричневых брюк и синих рубашек

Вернемся к примеру со брюками и рубашкой. Представьте, что мы собираемся в короткую поездку и случайным образом выбираем две пары брюк и две пары рубашек, чтобы положить их в наш чемодан. Мы надеемся на две пары коричневых брюк и две синие рубашки.

Начнем с рассмотрения этого как двух наборов зависимых событий, один для брюк, а другой для рубашек.

Начнем с 10 пар штанов, три из которых коричневые. Следовательно, вероятность того, что первая пара брюк будет желто-коричневой (событие T1), равна 0,30. Вероятность того, что вторая пара будет желто-коричневой (T2), составляет 2/9 = 0,22. Отсюда:

P(T1 ∩ T2) = P(T1) * P(T2|T1)

0,30 * 0,22 = 0,066

Совместная вероятность вытянуть две пары светло-коричневых штанов равна 0,066, что равно вероятности первая пара коричневых штанов, умноженная на условную вероятность появления второй пары коричневых штанов при условии, что первая пара была коричневой.

Что касается футболок, мы начнем с четырех синих из 16. Используя тот же подход, мы получаем следующее:

P(B1 ∩ B2) = P(B1) * P(B2|B1)

0,25 * 0,20 = 0,05

У нас есть две совместные вероятности 0,066 для двух тангенсов. штаны и 0,05 за две синие рубашки.

Связанный пост : Использование перестановок для расчета вероятностей и использование комбинаций для расчета вероятностей

Бонус Пример задачи!

Наша конечная цель как случайного упаковщика состоит в том, чтобы иметь в чемодане две коричневые штаны и две синие рубашки. Можете ли вы понять, как рассчитать эту вероятность, учитывая приведенную выше информацию?

Чтобы решить эту проблему, мы определим две коричневые штаны как событие 2TP и две синие рубашки как событие 2BS. Из наших предыдущих расчетов зависимых событий с использованием общего правила умножения мы знаем следующее:

P(2TP) = 0,066

P(2BS) = 0,05

Как рассчитать совместную вероятность P(2TP ∩ 2BS)?

Вспомните пример независимых событий, когда мы нарисовали одну пару брюк и одну рубашку. Выбор брюк не влияет на вероятность получения рубашки и наоборот. Следовательно, мы можем рассматривать события 2TP и 2BS как независимые события, хотя у нас были зависимые события при расчете вероятностей для нескольких штанов и нескольких рубашек. Другими словами, выбор нескольких брюк влияет на вероятность получения следующей пары брюк, но не влияет на рубашки.

Следовательно, мы можем использовать конкретное правило умножения для независимых событий для этой части решения:

P(2TP ∩ 2BS) = P(2TP) * P(2BS)

0,066 * 0,05 = 0,0033

Вероятность вытянуть две пары светло-коричневых брюк и две синие рубашки составляет всего 0,0033 или 0,33%! Это вряд ли произойдет случайно. Если мы действительно хотим эту комбинацию, мы должны рассмотреть неслучайный подход к упаковке!

Вычисление совместных вероятностей с помощью правила умножения очень просто. Определите, являются ли ваши события независимыми или зависимыми, а затем используйте правильную форму правила!

Вероятностное правило умножения | Теорема умножения о вероятности

Правило умножения вероятности определяет условие между двумя данными событиями. Для двух событий, A и B, связанных с пространством выборки S, A ∩ B обозначает события, в которых произошли оба события. Это также известно как теорема умножения в вероятности. Вероятности двух заданных событий перемножаются, чтобы получить вероятность того, что эти события произойдут одновременно.

1.	Что такое правило умножения вероятности?
2.	Правило умножения формулы вероятности
3.	Правило умножения вероятностного доказательства
4.	Правило умножения вероятности для n событий
5.	Вероятностное правило умножения Примеры
6.	Часто задаваемые вопросы о правиле умножения вероятности

Что такое правило умножения вероятности?

Правило вероятности умножения гласит, что всякий раз, когда событие является пересечением двух других событий, то есть события A и B должны произойти одновременно. Тогда P(A и B)=P(A)⋅P(B). Множество A ∩ B обозначает одновременное появление событий A и B, то есть множество, в котором произошли оба события A и событие B. Событие A∩B можно записать как AB. Вероятность события AB получается с использованием свойств условной вероятности, которая задается как P (A ∩ B) = P (A) P (B | A).

Правило умножения вероятности для зависимых событий

Если исход одного события влияет на исход другого, то такие события называются зависимыми событиями. Иногда возникновение первого события влияет на вероятность второго события. Из теоремы имеем P(A ∩ B) = P(A) P(B | A), где A и B — независимые события.

Правило умножения вероятности для независимых событий

Если исход одного события не влияет на исход другого, то такие события называются независимыми событиями. Правило умножения вероятности для зависимых событий может быть распространено на независимые события. Имеем P(A ∩ B) = P(A) P(B | A), поэтому, если события A и B независимы, то P(B | A) = P(B), и, таким образом, приведенное выше теорема сводится к P(A ∩ B) = P(A) P(B). Это означает, что вероятность того, что оба события произойдут одновременно, является произведением их соответствующих вероятностей.

Правило умножения формулы вероятности

Правило умножения вероятности гласит, что вероятность того, что события A и B произойдут вместе, равна вероятности того, что B произойдет, умноженной на условную вероятность того, что A произойдет при условии, что B произойдет.

• Правило умножения можно записать как P(A∩B)=P(B)⋅P(A|B).
• Общее правило умножения вероятности можно получить простым способом, просто умножив обе части уравнения условной вероятности на знаменатель.

Правило умножения вероятностного доказательства

Вероятность пересечения двух событий, А и В, получается с использованием свойств условной вероятности.

• Мы знаем, что условная вероятность события A при условии, что произошло B, обозначается P(A|B) и определяется как: P(A|B) = P(A∩B)P(B), где , Р(В)≠0. P(A∩B) = P(B)×P(A|B) …….(1)
• P(B|A) = P(B∩A)P(A), где P(A) ≠ 0. P(B∩A) = P(A)×P(B|A)
• Так как P(A∩B) = P(B∩A), P(A∩B) = P(A)×P(B|A) ……..(2)
• Из (1) и (2) P(A∩B) = P(B)×P(A|B) = P(A)×P(B|A), P(A) ≠ 0,P( Б) ≠ 0. Следовательно, полученный таким образом результат известен как правило умножения вероятности.
• Для независимых событий A и B P(B|A) = P(B). Уравнение (2) можно изменить следующим образом: P(A ∩ B) = P(B) × P(A)

Правило умножения вероятности для n событий

Теперь, чтобы получить правило умножения вероятности для n событий, распространение теоремы умножения вероятности на n событий для n событий A ₁ , A ₂ , … , A _n , имеем P(A ₁ ∩ A ₂ ∩ … ∩ 7 _n ) = P(A 9 _{) = P(A 9 ) | A 1 ) P (A 3 | A 1 ∩ A 2 )… × P ( N | A 1 ∩ A 2 | A 1 ∩ A 2 .} )

Для n независимых событий теорема умножения сводится к следующему:0258 ) … P(A _n ).

Связанные темы

Следующие связанные темы помогают лучше понять правило умножения вероятности.

• Вероятность и статистика
• Вероятностные правила
• Взаимоисключающие события
• Независимые события
• Биномиальное распределение
• Формула Байе
• Формула распределения Пуассона

 

Правило вероятностей умножения Примеры

1. Пример 1: Какова вероятность того, что на обычном шестигранном кубике выпадет 5, а затем 2?

   Решение:

   Пространство выборки = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

   Всего событий = 6

   Вероятность получения 5 = 1/6

   Вероятность получения 6 = 1 /6

   Применение правила умножения вероятности для независимых событий,

   P(получение 5, а затем 2 ) = (1/6). (1/6) = 1/36.

   Следовательно, вероятность выпадения 5, а затем 2 на обычном шестигранном кубике равна 1/36.

2. Пример 2: Две карты выбираются без замены первой карты из колоды. Найти вероятность выбора короля, а затем выбора ферзя.

   Решение:

   Всего событий = 52

   Поскольку первая карта не заменена, события зависимы.

   Вероятность выбора короля = P(K) = 4/52

   Вероятность получения дамы = P(Q) = 4/51 (одна карта, взятая первой, не была заменена)

   P(король и тогда ферзь) = P(K).P(Q|K)

   =4/52 . 4/51 = 16/2652 = 1/166.

   Таким образом, вероятность выбора короля, а затем ферзя равна 1/166.

перейти к слайдуперейти к слайду

Отличное обучение в старшей школе с использованием простых подсказок

Увлекаясь зубрежкой, вы, скорее всего, забудете понятия. С Cuemath вы будете учиться визуально и будете удивлены результатами.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по правилу умножения вероятности

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о правиле умножения вероятности

Что такое теорема умножения вероятности?

Согласно теореме умножения вероятности, вероятность одновременного возникновения двух событий А и В равна произведению вероятности другого события при условии, что произошло первое из них. Это называется теоремой умножения вероятности.

Почему мы используем правило умножения в вероятности?

Используя правило умножения, мы можем вычислить вероятность того, что события A и B произойдут вместе, при условии, что события A и B происходят по отдельности.

Как найти вероятность 3 событий, используя правило умножения вероятности?

В случае трех событий, A, B и C, правило умножения задается как вероятность пересечения P(A и B и C) = P(A)P(B|A)P(C |А и Б).

Как использовать правило умножения вероятности?

В случае, если одновременно происходят два события, просто умножьте вероятность первого события на второе. Например, если вероятность события А равна 2/7, а вероятность события В равна 5/7, то вероятность того, что оба события произойдут одновременно, вычисляется с использованием правила умножения вероятности, т. е. (2/7) *(5/7) = 10/49.

Правило умножения используется для расчета вероятности какого типа?

Правило умножения вычисляет вероятность одновременного возникновения нескольких событий, используя известные вероятности отдельных событий.